207. 课程表
题目来源:力扣(LeetCode)https://leetcode-cn.com/problems/course-schedule
题目
你这个学期必须选修 numCourse 门课程,记为 0 到 numCourse-1 。
在选修某些课程之前需要一些先修课程。 例如,想要学习课程 0 ,你需要先完成课程 1 ,我们用一个匹配来表示他们:[0,1]
给定课程总量以及它们的先决条件,请你判断是否可能完成所有课程的学习?
示例 1:
输入: 2, [[1,0]]
输出: true
解释: 总共有 2 门课程。学习课程 1 之前,你需要完成课程 0。所以这是可能的。
示例 2:
输入: 2, [[1,0],[0,1]]
输出: false
解释: 总共有 2 门课程。学习课程 1 之前,你需要先完成课程 0;并且学习课程 0 之前,你还应先完成课程 1。这是不可能的。
提示:
- 输入的先决条件是由 边缘列表 表示的图形,而不是 邻接矩阵 。详情请参见图的表示法。
- 你可以假定输入的先决条件中没有重复的边。
- 1 <= numCourses <= 10^5
解题思路
思路:拓扑排序(BFS,DFS)
其实,这是一道经典的【拓扑排序】问题。
首先先审题,结合示例 1 和示例 2,我们其实可以看到,其实题目问的是给定输入先决条件表示的图形(也就是课程表)是否是有向无环图。也是说,当确定先决条件之后,图形不能存在环,否则不成立。
有向无环图(DAG):指的一个有向图从任意顶点出发无法经过若干条边回到该点,则该图是一个有向无环图。
有向无环图,详细信息可由下方入口进行了解 https://en.wikipedia.org/wiki/Directed_acyclic_graph (维基百科:有向无环图) https://baike.baidu.com/item/%E6%9C%89%E5%90%91%E6%97%A0%E7%8E%AF%E5%9B%BE/10972513?fr=aladdin (百度百科:有向无环图)
那么当要求课程安排图是否是有向无环图时,我们用拓扑排序来判断。拓扑排序:将图所有顶点进行排序成线性序列,使得图中任意一个有向边 uv,u 在线性序列中出现在 v 前面。
拓扑排序,详细信息可由下方入口进行了解 https://en.wikipedia.org/wiki/Topological_sorting (维基百科:拓扑排序) https://baike.baidu.com/item/%E6%8B%93%E6%89%91%E6%8E%92%E5%BA%8F/5223807?fr=aladdin (百度百科:拓扑排序)
在题目中的提示中有说明,输入的先决条件时由 边缘列表 表示,在这里,我们要将此转换为 邻接表。
邻接表,详细信息可由下方入口进行了解 https://en.wikipedia.org/wiki/Adjacency_list (维基百科:邻接表) https://baike.baidu.com/item/%E9%82%BB%E6%8E%A5%E8%A1%A8/9796152?fr=aladdin (百度百科:邻接表)
广度优先搜索(BFS)
首先,先将边缘列表表示的先决条件转换得到邻接表。然后统计图中每个节点的入度情况,存储在一个列表中。(当入度为 0 时,表示点不作为任何边的终点,也就说该点是所有连接边的起点)
在这里,定义辅助队列 queue
,将所有入度为 0 的节点存入队列中,用于后续处理。
开始进行搜索,令队列中的节点出队:
- 将当前节点邻接节点入度减 1;
- 当邻接节点入度为 0 时,将其入队。
当队列中的节点出队时,令课程总量减 1:
- 如果课程图是有向无环图,若完成拓扑排序,那么所有的节点都会入队出队;
- 若是课程图存在环,那么一定存在节点入度不为 0 的情况;
- 也就是说,当所有节点入队出队后,课程总量为 0 的情况下,也就能证明课程图是否是有向无环图。
具体的代码见【代码实现 # 广度优先搜索】
深度优先搜索(DFS)
我们先看使用深度优先搜索的思路来判断图是否有环。
在这里,我们借助一个辅助列表(当然也可以考虑用栈)标记每个节点的状态:
- 未标记,令此时状态为 0;
- 临时标记,令此时状态为 1;
- 永久标记,令此时状态为 -1。
开始对每个节点进行深度优先搜索,当存在环时,返回 False,执行过程如下:
- 当节点状态为 -1 时,表示已永久标记,此时已搜索完毕,不许重复搜索,直接返回 True;
- 当节点状态为 1 时,表示临时标记,也就说此节点,在此次深搜中又一次对该节点进行了搜索,那么表示图中存在环,那么直接返回 False;
- 当状态为 0 时,先将节点临时标记(令状态为 1),然后以此点继续搜索,直至遇到终止条件。
- 当节点搜索完毕,未发现闭环,则去除临时标记,将节点进行永久标记(令状态为 -1)
如果所有节点都搜索完毕后,不存在环,则返回 True。
具体的代码见【代码实现 # 深度优先搜索】
代码实现
# 广度优先搜索
class Solution:
def canFinish(self, numCourses: int, prerequisites: List[List[int]]) -> bool:
from collections import deque
# 将边缘列表表示的先决条件转化为 邻接表
adjacency = [[] for _ in range(numCourses)]
# 定义列表统计图中每个节点的入度情况
indegree = [0] * numCourses
for info in prerequisites:
adjacency[info[1]].append(info[0])
indegree[info[0]] += 1
queue = deque()
# 将入度为 0 的节点入队
for i in range(len(indegree)):
if not indegree[i]:
queue.append(i)
# 开始进行搜索
while queue:
u = queue.popleft()
numCourses -= 1
# 搜索邻接节点
for v in adjacency[u]:
# 将邻接节点入度减 1
indegree[v] -= 1
# 如果入度为 0,入队
if indegree[v] == 0:
queue.append(v)
return numCourses == 0
# 深度优先搜索
class Solution:
def canFinish(self, numCourses: int, prerequisites: List[List[int]]) -> bool:
def dfs(adjacency, sign, i):
if sign[i] == -1:
return True
if sign[i] == 1:
return False
# 开始搜索,先进行临时标记
sign[i] = 1
# 以此节点往下搜索
for j in adjacency[i]:
if not dfs(adjacency, sign, j):
return False
sign[i] = -1
return True
# 定义辅助列表标记状态,初始化为 0,表示未标记
sign = [0] * numCourses
# 将边缘列表表示的先决条件转化为 邻接表
adjacency = [[] for _ in range(numCourses)]
for info in prerequisites:
adjacency[info[1]].append(info[0])
# 开始深搜
for i in range(numCourses):
if not dfs(adjacency, sign, i):
return False
return True
实现结果
欢迎关注
公众号 【书所集录】
来源:oschina
链接:https://my.oschina.net/u/3640932/blog/4469663