聊聊算法——回溯算法

“递归只应天上有，迭代还须在人间”，从这句话我们可以看出递归的精妙，确实厉害，递归是将问题规模逐渐减小，

然后再反推回去，但本质上是从最小的规模开始，直到目标值，思想就是数学归纳法，举个例子，求阶乘 N!=(N-1)！*N ，

而迭代是数学中的极限思想，利用前次的结果，逐渐靠近目标值，迭代的过程中规模不变，举例如For循环，直到终止条件。

递归的思想不复杂，但代码理解就麻烦了，要理解一个斐波那契数组递归也不难，比如下面的回溯算法递归，for 循环里面

带递归，看代码是不是晕了？好，下面我们专门来聊聊这个框架！

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准备：

Idea2019.03/JDK11.0.4

难度： 新手--战士--老兵--大师

目标：

回溯算法分析与应用

1 回溯算法

先给出个回溯算法框架：

backtrack(路径，选择列表){
    //结束条件
    将中间结果加入结果集
    for 选择 in 选择列表:
        //做选择，并将该选择从选择列表中移除
        路径.add(选择)
        backtrack(路径，选择列表)      
        //撤销选择 
        路径.remove(选择)
}

为了理解上述算法，回想一下，我前篇文章中有说到，多路树的遍历算法框架：

private static class Node {
    public int value;
    public Node[] children;
}
public static void dfs(Node root){
    if (root == null){
        return;
    }
    // 前序遍历位置，对node做点事情
    for (Node child:children
    ) {
        dfs(child);
    }
    // 后序遍历位置，对node做点事情
}

如果去掉路径增加/撤销的逻辑，是不是和多路树的遍历算法框架一样了呢？其实就是一个多路树DFS的变种算法！

另外，虽然递归代码的理解难度大，运行时是栈实现，但看官不要掉进了递归栈，否则就出不来了，如果试着用打断

点逐行跟进的办法非要死磕，那对不起，估计三顿饭功夫也可能出不来，甚至我怀疑起自己的智商来，所以，理解递归，

核心就是抓住函数体来看，抽象的理解，只看懂 N 和 N-1 的转移逻辑即可！不懂的先套用再说，也不定哪天就灵感来了，

一下顿悟！

那就先上菜了！先是经典回溯算法，代号A，我们要做个数组全排列，我看别人说回溯算法也都是拿这个例子说事，

我就落个俗套：

class Permutation {
    // 排列组合算法
    private static List<List<Integer>> output = new LinkedList();
    static List<List<Integer>> permute( List<Integer> nums, // 待排列数组
                                         int start //起始位置
     ){
        if (start == nums.size()){
            output.add(new ArrayList<>(nums));
        }
        for (int i = start; i < nums.size(); i++) {
            // 做选择，交换元素位置
            Collections.swap(nums, start, i);
            // 递归，缩小规模
            permute( nums,start +1);
            // 撤销选择，回溯，即恢复到原状态,
            Collections.swap(nums, start, i);
        }
        return output;
    }
    // 测试
    public static void main(String[] args) {
        List<Integer> nums = Arrays.asList(1,2,3,4);
        List<List<Integer>> lists = permute(nums,0);
        lists.forEach(System.out::println);
    }
}

代码理解：数组 {1,2,3} 的全排列，我们马上知道有{1,2,3},{1,3,2},{2,1,3},{2,3,1},{3,1,2},{3,2,1}排列，具体过程就是通过递归缩小规模，

做 {1,2,3} 排列，先做 {2,3} 排列，前面在加上 1 即可，继续缩小，就是做 {3} 的排列。排列就是同一个位置把所有不同的数都放一次，

那么代码实现上可使用交换元素法，比如首个位置和所有元素都交换一遍，不就是全部可能了吗。这样，首个位置所有可能就遍历了

一遍，然后在递归完后，恢复(回溯)一下，就是说每次交换都是某一个下标位置，去交换其他所有元素。

再来个全排列的算法实现，代号B，也是使用回溯的思想：

public class Backtrack {
    public static void main(String[] args) {
       int[] nums = {1,2,3,4};
        List<Integer> track = new LinkedList<>();
        List<List<Integer>>  res = backtrack(nums,track);
        System.out.println(res);
    }
    // 存储最终结果
    private static List<List<Integer>> result = new LinkedList<>();
    // 路径：记录在 track 中
    // 选择列表：nums 中不存在于 track 的那些元素
    // 结束条件：nums 中的元素全都在 track 中出现
    private static List<List<Integer>> backtrack(int[] nums,List<Integer> track){
        // 结束条件
         if (track.size() == nums.length){
             result.add(new LinkedList<>(track));
             return null;
         }
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            if (track.contains(nums[i]))
                continue;
            // 做选择
            track.add(nums[i]);
            backtrack(nums,track);
            // 撤销选择
            track.remove(track.size()-1);
        }
        return result;
    }
}

代码解析：对 {1,2,3} 做全排列，先将 List[0] 放入链表，如果链表中存在该元素，就忽略继续，继续放入List[0+1]，同样的，

存在即忽略继续，直到将List中所有元素，无重复的放入链表，这样就完成了一次排列。这个算法的技巧，是利用了链表的

有序性，第一个位置会因为回溯而尝试放入所有的元素，同样，第二个位置也会尝试放入所有的元素。

画出个决策树：

以 {1-3-2} 为例，如果链表第一个位置为1，那第二个位置为 {2,3} 之一，{1}由于属于存在的重复值忽略，

如果第二个位置放了{3}，那第三个位置就是{2}，就得出了一个结果。

我们对比一下以上两个算法实现：特别注意，算法B是真正的递归吗？有没有缩小计算规模？

时间复杂度计算公式：分支个数 * 每个分支的计算时间

算法A的分支计算只有元素交换，按Arraylist处理，视为O(1)，算法B分支计算包含链表查找为O(N)，

算法A：N！* O(1) ，阶乘级别，耗时不送。

算法B：N^n * O(N) ，指数级别，会爆炸！

我使用10个数全排测试如下(严谨的讲，两者有数据结构不同的影响，并不是说仅有算法上的差异)：

总结：回溯和递归是两种思想，可以融合，也可以单独使用！

全文完！

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来源：oschina

链接：https://my.oschina.net/u/4312062/blog/4280378

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