矩阵快速幂&T1 | 易学教程

知识储备

在写这一题之前,我们首先要了解矩阵乘法(我就是因为不懂弄了好久...)

矩阵的运算()-----(信息学奥赛一本通之提高篇)

矩阵的加法减法是十分简单的,就是把2个矩阵上对应的位置相加减

矩阵乘法

1.我们要满足A矩阵的列数和B矩阵的行数相等

2.如果A是一个n*r的矩阵,B是一个r*m的矩阵,那么A和B的乘积C是一个n*m的矩阵

3.C_i,j=a_i,1*b_1,j+a_i,2*b_2,j+a_i,3*b_3,j+...+a_i,r*b_r,j;

由以上我们要得出一个重要的结论,就是:矩阵乘法满足结合律即A*B+A*C=A*(B+C)

方阵乘幂

A是一个方阵,将A连成n次,即:C=Aⁿ

如果不是方阵就不能进行乘幂运算,然后由我们上面得出来的矩阵乘法满足结合律,因此我们可以用快速幂的方法求解解

矩阵乘法的应用

1.通过状态矩阵和状态转移矩阵相乘可以快速得到一次DP的值

2.求矩阵相乘的结果是要做很多次乘法,这样的效率非常慢甚至不如原来的DP转移.所以我们可以先算后面的转移矩阵,并将其与初始矩阵相乘得到结果,算法的时间复杂度为log(n)级别

矩阵快速幂

恩恩,直接上代码

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define ll long long
 3 #define FOR(i,a,b) for(register ll i=a;i<=b;i++)
 4 #define ROF(i,a,b) for(register ll i=a;i>=b;i--)
 5 using namespace std;
 6 const ll Mod=1e9+7;
 7 ll n,k;
 8 struct s1
 9 {
10     ll a[101][101];
11 }b,c,e,s;
12 ll scan()
13 {
14     ll as=0,f=1;
15     char c=getchar();
16     while(c>'9'||c<'0'){if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
17     while(c>='0'&&c<='9'){as=(as<<3)+(as<<1)+c-'0';c=getchar();}
18     return as*f;
19 }
20 s1 sol(s1 x,s1 y)
21 {
22     memset(c.a,0,sizeof(c.a));
23     FOR(i,1,n)
24     {
25         FOR(j,1,n)
26         {
27             FOR(k,1,n)
28             {
29                 c.a[i][j]=(c.a[i][j]+(x.a[i][k]%Mod)*(y.a[k][j]%Mod))%Mod;
30                 
31             }
32         }
33     }
34     return c;
35 }
36 s1 ksm(s1 x,ll y)
37 {
38     s1 s=e;
39     while(y)
40     {
41         if(y%2==1) s=sol(s,x);
42         x=sol(x,x);
43         y=y/2;
44     }
45     return s;
46 }
47 int main()
48 {
49     n=scan();k=scan();
50     FOR(i,1,n)
51         FOR(j,1,n)
52         b.a[i][j]=scan();
53     FOR(i,1,n) e.a[i][i]=1;//这个是用来保护的,就是原矩阵和其相乘后不变
54     s1 ans=ksm(b,k);
55     FOR(i,1,n)
56     {
57         FOR(j,1,n)
58         {
59             cout<<ans.a[i][j]%Mod<<" ";
60         }cout<<endl;
61     }
62     return 0;
63 }

代码戳这里

然后知道矩阵快速幂之后我们就要来将今天这道题目了

思路

1.运用递推的方式求

首先让我们一步一步的分析

f[i]代表的是从A+A^2+...+A^i的总和,然后我们就要去推递推式f[i]=A*f[i-1]+A;

即[f[i-1],A]*{{A,0}{I,I}};(I是单位1)

我们把{{A,0}{I,I}}看做一个常量k,然后利用快速幂求解f[n];

恩恩恩...看代码吧....

2.二分求和的一个思想(分治)

评测传送门

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define ll long long
 3 #define FOR(i,a,b) for(register ll i=a;i<=b;i++)
 4 #define ROF(i,a,b) for(register ll i=a;i>=b;i--)
 5 using namespace std;
 6 const int Mod=1e9+7;
 7 int n,m,k;
 8 struct s1
 9 {
10     int a[101][101];
11 }c,e;
12 int scan()
13 {
14     int as=0,f=1;char c=getchar();
15     while(c>'9'||c<'0'){if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
16     while(c>='0'&&c<='9'){as=(as<<3)+(as<<1)+c-'0';c=getchar();}
17     return as*f;
18 }
19 s1 mul(s1 x,s1 y)
20 {
21     memset(c.a,0,sizeof(c.a));
22     FOR(i,1,n)
23         FOR(j,1,n)
24         FOR(k,1,n)
25         c.a[i][j]=(c.a[i][j]%m+(x.a[i][k]*y.a[k][j])%m)%m;
26     return c;
27 }
28 s1 ad(s1 x,s1 y)
29 {
30     s1 ans;
31     FOR(i,1,n)
32         FOR(j,1,n)
33         ans.a[i][j]=(x.a[i][j]+y.a[i][j])%m;
34     return ans;
35 }
36 s1 ksm(s1 x,int h)
37 {
38     s1 ans=e;
39     while(h)
40     {
41         if(h&1) ans=mul(x,ans);
42         x=mul(x,x);
43         h>>=1;
44     } 
45     return ans;
46 }
47 s1 cal(s1 ori,int h)
48 {
49     if(h==1) return ori;
50     if(h&1)
51         return ad(cal(ori,h-1),ksm(ori,h));
52     else
53         return mul(ad(ksm(ori,0),ksm(ori,h>>1)),cal(ori,h>>1));
54 }
55 int main()
56 {
57     n=scan();k=scan();m=scan();
58     s1 ori;
59     FOR(i,1,n)
60         FOR(j,1,n)
61         ori.a[i][j]=scan(),ori.a[i][j]%=m;
62     FOR(i,1,n) e.a[i][i]=1;//单位初始啦
63     s1 ans=cal(ori,k);//求和......
64     FOR(i,1,n)
65     {
66         FOR(j,1,n)
67             cout<<ans.a[i][j]<<" ";
68         cout<<endl;
69     }
70     return 0;
71 }

代码戳这里

来源：https://www.cnblogs.com/KSTT/p/10386035.html

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