LINK：LCM
T组数据,\(T\leq 10000\)\(A,B\leq 4000000\)
简述一下这道题的式子:A,B用n,m来代替\(\sum_{i=1}{n}\sum_{j=1}^{m}\mu((i,j))^2LCM(i,j)\)
我们可以简单推式子 推出：
\(\sum_{w=1}^{n}w\cdot S(\frac{m}{w})\cdot S(\frac{n}{w})\cdot\sum_{x|w}x\cdot\mu(x)\mu(\frac{w}{x})^2\)
其中S(x)表示\(\sum_{i=1}^xi\) 我们发现预处理后面的前缀和即可。
由于A B 最大4e6 这显然是在卡nlnn的算法 我们考虑线性筛出后面的东西。
设f(w)表示\(\sum_{x|w}x\cdot\mu(x)\mu(\frac{w}{x})^2\) 那么f(w)其实是一个积性函数。
考虑 当w里存在p的时候 怎么筛 由于f(p^3)为0 p的更高次项也为0 那么f(p)=1-p,f(p^2)直接由f(p)*f(p)类似的式子计算即可。
这算是一个小trick吧 当w存在p的时候 我们还是可以通过除以p来获取互质 从而利用积性函数的性质来求答案。
由于答案对\(2^30\)取模 但是我们可以开unint 对\(2^32\)取模 最后 拿出后面的30位数即可。
const int MAXN=4000010;
int p[MAXN],mu[MAXN],v[MAXN];
ui f[MAXN],sum[MAXN];
int n,m,T,maxx,top;
inline void prepare()
{
mu[1]=1;sum[1]=f[1]=1;
rep(2,maxx,i)
{
if(!v[i])p[++top]=v[i]=i,mu[i]=-1,f[i]=(1-i);
rep(1,top,j)
{
if(maxx/i<p[j])break;
int ww=i*p[j];
v[ww]=p[j];
if(p[j]==v[i])
{
if(i/p[j]%p[j]!=0)f[ww]=-f[i/p[j]]*p[j];
break;
}
mu[ww]=-mu[i];
f[ww]=f[i]*f[p[j]];
}
sum[i]=sum[i-1]+f[i]*i;
}
}
int main()
{
freopen("1.in","r",stdin);
get(T);maxx=4000000;prepare();
while(T--)
{
get(n);get(m);
if(n>m)swap(n,m);
int w1,w2,ww;
ui ans=0;
for(int i=1;i<=n;i=ww+1)
{
w1=n/i;w2=m/i;
ww=min(n/w1,m/w2);
ans+=(sum[ww]-sum[i-1])*((ui)(1+w1)*w1/2)*((ui)(1+w2)*w2/2);
}
printf("%u\n",ans&((1<<30)-1));
}
return 0;
}
来源：https://www.cnblogs.com/chdy/p/12571222.html