近来打算趁着事情较少，学习一下数学分析，毕竟数学这东西，越早越学，越早养成思维，越有益处。
反复选择，最后来B站看了陈纪修的数学分析课程，用ipad写了笔记（也不知道能学多久）。前几年见过有大神用\(\LaTeX\)边上课边做笔记，于是我便打算试试Markdown来做一下，先把自己手写的打出来。
结论就是，大神就是大神，我连集合的符号都要不停地百度。。。算了，还是手写方便，更加专注于思路，毕竟\(y(t)=1 - \frac{e^{-\zeta\omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}\sin(\omega_n \sqrt{1-\zeta^2}t+\theta)\)和$y(t)=1 - \frac{e^{-\zeta\omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}\sin(\omega_n \sqrt{1-\zeta^2}t+\theta)$相比，前者手写快多了。
所以下文应该是第一篇笔记，也可能是最后一篇。。。
1 集合与元素
§1 集合
集合概念
集合（集）： 具有某种特定性质，具体或抽象的对象汇集的总体。
集合的表示：
-
枚举法
光基色的集合：{R, G, B}
\(\mathbb{N}^{+}={1, 2, 3, ..., n}\)
\(\mathbb{Z}=\{0, \pm1, \pm2, ..., \pm n, ...\}\) -
描述法
\(S=\{x|x满足性质P\}\)
\(\mathbb{Q}=\{x|x=\frac{q}{p}, p\in \mathbb{N}^{+}且q\in \mathbb{Z}\}\)
*[注]*：
- 集合表示无次序关系，重复的也没有意义
\(\{a, b\}=\{b, c\}=\{a, b, c\}\) - 空集概念
\(C=\{x|x \in \mathbb{R} 且x^2+1=0 \}= \varnothing\)
子集：若S的所有元素都居于T，则S是T的子集，记为\(S \subset T\)
-
\(S \subset T表述 x\in S \Rightarrow x\in T\)
-
\(S \not \subset T\): 若\(S \subset T\)，T中至少有一个元素不属于S，则S不是T的子集，记为\(S \not \subset T\)
-
\(S \not \subseteq T\)： 若S属于T，T中存在一元素x不居于S，责任S是T的真子集
-
\(S = T\): 若S、T所有蒜素相同，则集合相同
集合的运算
并、交、差、补
-
S与T的并：S与T汇集所成的集合
\(S \cup T=\{ x|x \in S 或 x \in T \}\) -
S与T的交：S与T公共元素所组成
\(S \cap T=\{ x|x \in S 且 x \in T \}\) -
S与T的差：居于S但不居于T的元素的集合
\(S \setminus T=\{ x|x \in S 且 x \not \in T \}\) -
S与T的补集：设在X集合中讨论问题，\(S\subset T\),则S关于X的补集
\(S_X^C=\{ x|x \in X 且 x \not \in S \} = X \setminus S\)
定律：
- 交换律
\(S \cup T = T \cup S, S \cap T= T \cap S\) - 结合律
\(A \cup (B \cup D) = (A \cup B )\cup D\)
\(A \cap (B \cap D) = (A \cap B )\cap D\) - 分配律
\(A \cup (B \cap D) = (A \cup B )\cap (A \cup D)\)
\(A \cap (B \cup D) = (A \cap B )\cup (A \cap D)\) - 对偶律(De Morgan)
\((A\cup B)^C = A^C \cap B^C\)
\((A\cap B)^C = A^C \cup B^C\)
[证明]
思路：左边包含于右边，右边包含于左边，互相包含
证明\(A \cup (B \cap D) = (A \cup B )\cap (A \cup D)\)
1 设\(x\in A\cup (B\cap D)\)
则\(x\in A \quad 或者\quad x \in B且x \in D\)
则\(x \in A \cup B \quad且\quad x\in A \cup D\)
\(\therefore x \in (A\cup B) \cap (A\cup D) \Rightarrow A \cup (B \cap D) \subset (A\cup B) \cap (A\cup D)\)
2 设\(x \in (A \cup B)\cap (A \cup D)\)
则 \(x \in A \cup B 且 x \in A \cup D\)
可知 \(x\in A 或 x \in B \cap D\)
则 \(x \in A \cup (B \cap D) \Rightarrow (A \cup B) \cap (A \cup D) \subset A \cup (B \cap D)\)
证毕
有限集合无限集
有限集： S由n个元素组成（n是非负整数），则S是有限集。
不是有限集则为无限集。
可列集：如无限集中的元素可按照某种规律排成一排，则该集合为可列集。
\(S = \{a_1, a_2, ..., a_n, ...\}\)。 例如：\(N^+=\{x|\sin x=0\}\)
- 任一无限集包含可列子集
- 无限集不一定是可列子集
- \(\mathbb{R}\)是无限集，但不是可列集
例题：整数集合\(\mathbb{Z}\)是可列集。
解：
\(\mathbb{Z}=\{0, 1, -1, 2, -2, ..., n, -n, ...\}\)
【定理1.1.1】可列个可列集之并也是可列集。
\(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n=A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup ... \cup A_n ... = \{x|存在n\in \mathbb{N}^+，使得x\in A_n\}，则\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n也是可列集\)
[证明]
思路：使用对角线排列
对任意\(n \in \mathbb{N}^+, A_n = \{x_{n1}, x_{n2}, x_{n3}, ..., x_{nk}, ...\}\)
使用对角线排列
\(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n = \{x_{11},x_{12}, x_{21}, x_{13}, x_{22}, x_{31}, x_{14}, ...\}\)
故可列个可列集之并也是可列集。
【定理1.1.2】有理数集合\(\mathbb{Q}\)是可列集
[证明]
思路：分开区间
\((-\infty, +\infty)\)由可列个(n, n+1]的并构成\((n \in \mathbb{Z})\)，只要让(0, 1]中有理数全体为可列集。
(0, 1]中每个有理数可唯一表示成\(\frac{q}{p} p \in N^+, q \in N^+, p, q互质, p\ge q\)
分母p=1的有理数：\(x_{11}=1\)
分母p=2的有理数：\(x_{21}=1/2\)
分母p=3的有理数：\(x_{31}=1/3 \quad x_{32}=2/3\)
分母p=4的有理数：\(x_{41}=1/4 \quad x_{42}=3/4\)
分母p=n的有理数：\(x_{n1}=1/n ,x_{n2}, ..., x_{nk(n)}\)
(0, 1]上的全体有理数可排列成
\(\{x_{11},x_{21}, x_{31}, x_{32}, ...x_{n1}, x_{n2},... x_{nk(n)}, ...\}\)，故为可列集。
来源：https://www.cnblogs.com/zhencaiguan/p/12563873.html