编译原理-DFA与NFA的等价性

DFA与NFA的等价性

DFA与NFA的等价性，使得L(M)=L(M’)

NFA 和DFA的差别

状态	NFA	DFA
初始状态	不唯一	唯一
弧上的标记	字(单字符字、ε)	字符
转换关系	非确定	确定

DFA与NFA的等价性证明

假定NFA M=<S, Σ, δ, S 0 , F>，我们对M的状态转换图进行以下改造：

引进新的初态结点X和终态结点Y，X,Y∉S，从X到S 0中任意状态结点连一条ε箭弧， 从F中任意状态结点连一条ε箭弧到Y。(解决初始状态唯一性)

对M的状态转换图进一步施行替换，其中k是新引入的状态。(简化弧上的标记)

然后下面是NFA转换前后的状态

总来时就是两步走，第一步加入唯一的初态，第二步就是引入中间节点，将弧上的标记拆分成单字符

DFA与NFA的等价性证明

• NFA确定化--子集法(解决ε弧和转换关系)
• 设I是的状态集的一个子集，定义I的ε-闭包ε-closure(I)为:
  • 若s∈I，则s∈ε-closure(I)；
  • 若s∈I，则从s出发经过任意条ε弧而能到达的任何状态s’都属于ε-closure(I) 即，ε-closure(I)=I∪{s’|从某个s∈I出发经过任意条ε弧能到达s’}

设a是Σ中的一个字符，定义 I a = ε-closure(J) 其中，J为I中的某个状态出发经过一条a弧而到达的状态集合。

转换过程

确定化：不失一般性，设字母表只包含两个 a 和b，我们构造一张计算状态集的转换表:

1. 首先，置第1行第1列为ε-closure({X})求出这一列的I a ，I b ；
2. 然后，检查这两个I a ，I b ，看它们是否已在表中的第一列中出现，把未曾出现的填入后面的空行的第1列上，求出每行第2，3列上的集合...
3. 重复上述过程，直到所有第2，3列子集全部出现在第一列为止

转换矩阵:

I	Ia	Ib
ε-closure({X})={X,1,2}	{1,5,2}	{1,6,2}
{1,5,2}	{1,3,5,2,4,Y}	{1,6,2}
{1,6,2}	{1,5,2}	{1,3,6,2,4,Y}
{1,3,5,2,4,Y}	{1,3,5,2,4,Y}	{1,6,4,2,Y}
{1,3,6,2,4,Y}	{1,5,4,2,Y}	{1,3,6,2,4,Y}
{1,5,4,2,Y}	{1,3,5,2,4,Y}	{1,6,4,2,Y}
{1,6,4,2,Y}	{1,5,4,2,Y}	{1,3,6,2,4,Y}

1. 把表看成状态转换矩阵，子集视为状态
2. 转换表唯一刻划了一个确定的有限自动机M
   1. 初态是ε-closure({X}) 2.. 终态是含有原终态Y的子集
3. 不难看出，这个DFA M与M’等价
4. 对于每个NFA M存在一个DFA M ’ ，使得 L(M)=L(M’)
5. NFA和DFA等价

矩阵项化简

参考中国大学MOOC 国防科技大学 《编译原理》课程文档

来源：oschina

链接：https://my.oschina.net/u/2555967/blog/3195441