高等代数笔记4：线性空间

线性空间

线性空间的定义与实例

从本节开始，我们将解析几何、向量空间、矩阵空间的一些共同性质作一个进一步的抽象，得到线性空间的概念。所谓线性空间，就是在一个集合上，定义了线性运算，从而形成线性空间。所谓线性运算，就是两类：加法和数域 $K$ 上的数乘。回顾解析几何、向量空间、矩阵空间的相关知识，在这些空间上，都定义了加法和数乘，并且加法和数乘都有类似的性质，即以下八条：
A.加法交换律： $a+b=b+a$
B.加法结合律： $a+b+c=a+(b+c)$
C.存在零元： $0+a=a$
D.存在相反元： $a+(-a)=0$
E.数乘结合律： $(kl)a=k(la)$
F. $1.a =a$
G.数乘分配律1： $(k+l)a=ka+la$
H.数乘分配律2： $k(a+b)=ka+kb$
两个运算，加上以上八条运算性质，就形成了抽象的"线性空间"：

定义4.1 $V$ 是一集合， $K$ 是一数域，如果在 $V$ 上定义了一个二元运算" $+$ "，满足：
A.加法交换律： $\forall a,b\in V,a+b=b+a$
B.加法结合律： $\forall a,b,c \in V, a+b+c=a+(b+c)$
C.存在零元： $\exists 0 \in V,\forall a\in V,0+a=a$
D.存在相反元： $\forall a \in V,\exists -a \in V, a+(-a)=0$
又定义了 $V$ 和 $K$ 的运算 $.$ ，满足：
E.数乘结合律： $\forall k,l \in K,\forall a \in V,(kl)a=k(la)$
F. $\forall a \in V,1.a =a$
G.数乘分配律1： $\forall k,l \in K,\forall a \in V,(k+l)a=ka+la$
H.数乘分配律2： $\forall k \in K,\forall a,b \in V,k(a+b)=ka+kb$
则称 $V$ 是数域 $K$ 上的线性空间

解析几何中的平面向量空间、空间向量空间、 $K$ 上的 $n$ 维向量空间， $M_{m,n}(K)$ 都是线性空间的典型代表。不仅如此，即便看起来与代数毫无关系的数学分析，也有大量线性空间的例子。例如：

例4.1 $C[a,b]$ 是 $[a,b]$ 上全体连续函数构成的空间， $C[a,b]$ 是 $R$ 上的线性空间

可见，线性空间存在于世界各个角落，或者可以这么说：只要在一个集合中定义了加法和数乘运算，并且满足八条运算性质，这个集合就是一个"抽象化"的向量空间，集合中的元素，不过是"抽象化"后的点罢了。线性空间，从几何上去理解，就是"抽象化"的向量空间。以连续函数空间为例，从线性空间的角度上看，闭区间上的连续函数，不过是连续函数空间上一个个向量罢了，连续函数空间，不过是抽象的解析几何空间罢了。线性泛函分析，就是以这里为出发点的。认识到这点，对于理解后面许多定理和命题都很有帮助。
命题4.1 $V$ 是数域 $K$ 上的线性空间，则
(1)零元是唯一的
(2) $\forall a \in V$ ，相反元 $-a$ 是唯一的
(3) $\forall a \in V,0.a=0$
(4) $\forall a \in V,(-1).a=-a$

证：
(1)假设 $a,b$ 都满足：对任意的 $c\in V$ ，都有
$a+c=c$ $b+c=c$ 那么
$a+b=b=b+a=a$ 由于零元唯一，我们记零元为 $0$ \
(2) $\forall a \in V$ ，若 $b,c$ 都满足：
$a+b=0$ $a+c=0$ 则
$a+b+c=c=b+a+c=b+(a+c)=b+0=b$ 从而相反元唯一，相反元记为 $-a$ \
(3) $a+0.a=1.a+0.a=(1+0)a=1.a=a$
(4) $(-1).a+a=(-1).a+1.a=(1+-1)a=0.a=0$

线性空间的结构

接下来，类似于向量空间，我们也可以给出线性组合、线性表示、线性相关、线性无关、极大线性无关组等概念。

定义4.2 $V$ 是 $K$ 上的线性空间， $x_1,\cdots,x_n$ 是 $V$ 的一个向量组， $k_1,\cdots,k_n$ 是 $K$ 上的 $n$ 个数，称
$k_1x_1+\cdots+k_nx_n$ 是 $x_1,\cdots,x_n$ 的一个线性组合， $y\in V$ ，存在 $k_1,\cdots,k_n\in K$ ，使得
$y=k_1x_1+\cdots+k_nx_n$ 则称 $y$ 能被 $x_1,\cdots,x_n$ 线性表示

定义4.3 $V$ 是 $K$ 上的线性空间， $x_1,\cdots,x_n$ 是 $V$ 的一个向量组，如果存在不全为 $0$ 的 $K$ 的一组数 $k_1,\cdots,k_n$ ，使得
$k_1x_1+\cdots+k_nx_n=0$ 则称 $x_1,\cdots,x_n$ 线性相关，否则称 $x_1,\cdots,x_n$ 线性无关

可以看到，一般线性空间上的线性相关和线性无关和向量空间是"一致的"，只不过这里是抽象化的线性相关和线性无关，而向量空间是具体的线性相关和线性无关，并且向量空间上，我们可以借助线性方程组来理解线性表示、线性相关和线性无关，一般线性空间上的线性表示、线性相关和线性无关，就很难借助具体的工具来表述。然而，一般线性空间上线性相关、线性无关性质上却和向量空间没有本质差别。

定理4.1 $V$ 是 $K$ 上的线性空间， $x_1,\cdots,x_n$ 是 $V$ 的一个向量组， $x_1,\cdots,x_n$ 线性相关的充分必要条件是某个向量可被其他向量线性表示

定义4.3 $V$ 是 $K$ 上的线性空间， $x_1,\cdots,x_n$ 和 $y_1,\cdots,y_m$ 是 $V$ 的两个向量组，如果 $y_1,\cdots,y_m$ 的每一个向量都能被 $x_1,\cdots,x_n$ 线性表示，则称向量组 $y_1,\cdots,y_m$ 能被 $x_1,\cdots,x_n$ 线性表示，如果两个向量组可以相互线性表示，则称两个向量组等价

引理4.1 $V$ 是 $K$ 上的线性空间， $x_1,\cdots,x_n$ 和 $y_1,\cdots,y_m$ 是 $V$ 的两个向量组，如果 $x_1,\cdots,x_n$ 线性无关， $m>n$ ，则 $y_1,\cdots,y_m$ 一定线性相关

推论4.1 $V$ 是 $K$ 上的线性空间， $V$ 上任意两个等价的线性无关的向量组一定有相同数量的向量

类似地可以给出极大线性无关组和向量组的秩
定义4.4 $V$ 是 $K$ 上的线性空间， $x_1,\cdots,x_n$ 是 $V$ 的一个向量组，如果存在线性无关的子向量组 $x_{n_1},\cdots,x_{n_r}$ ， $x_1,\cdots,x_n$ 能被 $x_{n_1},\cdots,x_{n_r}$ 线性表示，则称 $x_{n_1},\cdots,x_{n_r}$ 是 $x_1,\cdots,x_n$ 的极大线性无关组， $r$ 称为向量组 $x_1,\cdots,x_n$ 的秩

命题4.2 $V$ 是 $K$ 上的线性空间， $x_1,\cdots,x_n$ 是 $V$ 的一个向量组， $x_1,\cdots,x_n$ 线性无关，而 $x_1,\cdots,x_n,y$ 线性相关，则 $y$ 能被 $x_1,\cdots,x_n$ 唯一线性表示

按照这个命题，任一向量组的每一个向量能被其极大线性无关组唯一线性表示。极大线性无关组就起到解析几何中的基的作用。

线性空间上的基、基变换与坐标变换

上一小结，我们引出了极大线性无关组，并且说明了，任一向量组的每一个向量都能被极大线性无关组唯一表示。那么，对于整一个线性空间，能不能也找到这么一组线性无关向量，整个空间能被这组线性无关的向量唯一线性表示呢？

首先，如果存在一组线性无关的向量 $x_1,\cdots,x_n$ ，对任意的 $x\in V$ ，都存在 $k_1,\cdots,k_n\in K$ ，使得
$x=k_1x_1+\cdots+k_nx_n$ 我们就称 $x_1,\cdots,x_n$ 是线性空间 $V$ 的一组基，显然，任意两组基是等价的，因而，基中向量个数是相等的，这个向量的个数称为 $V$ 的维数。

是不是每一个线性空间都存在一个向量组是 $V$ 的基呢？答案是否定的。至少，连续函数空间 $C[a,b]$ 就不存在有限个向量可以线性表示所有的连续函数，不然，连续函数空间不就过分简单，以至于没有研究的价值了吗？如果存在 $n$ 个线性无关的向量可以线性表示空间中所有的向量，那么，就称 $V$ 是 $n$ 维线性空间， $n$ 是 $V$ 的维数，记为 $\dim(V)=n$ ， $V$ 是有限维线性空间，否则，称 $V$ 是无穷维线性空间，记为 $\dim(V)=\infty$ 。这里我们研究的对象是有限维线性空间，无穷维线性空间主要是一些函数空间，对无穷维线性空间的研究将在泛函分析中进行，这里不作讨论。

定义4.5 $V$ 是 $K$ 上的线性空间，如果存在线性无关的向量组 $x_1,\cdots,x_n$ ，对任意的 $x\in V$ ， $x$ 能被 $x_1,\cdots,x_n$ 线性表示，则称 $x_1,\cdots,x_n$ 是 $V$ 的一组基， $n$ 是 $V$ 的维数，记为 $\dim(V)=n$ ， $V$ 是 $n$ 维线性空间，否则，称 $V$ 是无穷维线性空间， $\dim(V)=\infty$

命题4.3 $V$ 是 $K$ 上的线性空间， $\dim(V)=n<\infty$ ， $x_1,\cdots,x_n$ 是线性无关的向量组，则 $x_1,\cdots,x_n$ 是 $V$ 的一组基

证：
首先，设 $e_1,\cdots,e_n$ 是 $V$ 的一组基，我们首先证明任意 $n+1$ 个向量都是线性相关的。
按照基的定义，对任意 $n+1$ 个向量 $y_1,\cdots,y_{n+1}$ ，存在 $n(n+1)$ 个 $K$ 中的数 $k_{ij},1\le i\le n+1,1\le j \le n$ ，使得
$y_i=k_{i1}e_1+\cdots+k_{in}e_{n},i=1,\cdots,n+1$ 令
$z_1y_1+z_2y_2+\cdots+z_{n+1}y_{n+1}=0$ 由 $e_1,\cdots,e_n$ 线性无关，得到齐次方程组
$\begin{cases} k_{11}z_1+\cdots+k_{(n+1)1}z_{n+1}=0\\ k_{12}z_1+\cdots+k_{(n+1)2}z_{n+1}=0\\ \cdots\\ k_{1n}z_1+\cdots+k_{(n+1)n}z_{n+1}=0 \end{cases}$ 由于变量个数大于方程个数，齐次方程必有非零解，从而 $y_1,\cdots,y_{n+1}$ 线性相关
其次证明 $x_1,\cdots,x_n$ 是 $V$ 的一组基，对任意 $x\in V$ ，不妨设 $x\neq x_i,i=1,\cdots,n$ ，则 $x_1,\cdots,x_n,x$ 线性相关，而 $x_1,\cdots,x_n$ 线性无关，从而 $x$ 能被 $x_1,\cdots,x_n$ 唯一线性表示，对于 $x_i$ ，自然有
$x_i=0.x_1+\cdots+0.x_{i-1}+1.x_{i}+0.x_{i+1}+\cdots+0.x_n$ 因此， $x_1,\cdots,x_n$ 是 $V$ 的一组基

这也就意味着，只要你选择 $n$ 个线性无关的向量，就能找到 $V$ 的一组基。反过来，不存在一组基，也就是说，只要不是平凡的线性空间（只有零元），那么一定能找到一个非零的向量，如果 $\dim(V)\neq 1$ ，那么说明，有一个向量不能被这个向量线性表示，加入到向量组中，就是两个线性无关的向量，以此类推，如果无论找多少个线性无关的向量(有限个)，都无法表示全空间，那么说明这个线性空间有"无穷个"基，这就不难理解为何称为无穷维线性空间了。

类似地，容易证明如下命题：

命题4.4 $V$ 是 $K$ 上的线性空间， $\dim(V)=n<\infty$ ， $e_1,\cdots,e_n$ 是 $V$ 的一组基，则 $V$ 中任意向量可表为 $e_1,\cdots,e_n$ 的一个唯一的线性组合

与定义不同的是，这个命题强调线性组合系数的唯一性，这个唯一线性组合的系数称为 $x$ 的坐标。当然，同一个向量在不同的基下，有不同的坐标，那么，同一个向量在不同基下的坐标，究竟有何联系呢？这就是基变换和坐标变换讨论的话题。

假设 $e_1,\cdots,e_n$ 和 $\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的两组基，那么按照基的定义：
$\begin{cases} \varepsilon_1=k_{11}e_1+k_{12}e_2+\cdots+k_{1n}e_n\\ \varepsilon_2=k_{21}e_1+k_{22}e_2+\cdots+k_{2n}e_n\\ \cdots\\ \varepsilon_n=k_{n1}e_1+k_{n2}e_2+\cdots+k_{nn}e_n \end{cases}$ 这在形式上，就类似于向量空间上的线性变换，实际上，在下一章中，我们会讲到这是一种"特殊"的线性变换，是从一组基变换到另一组基的线性变换，只不过，这里的线性变换，比向量空间上线性变换更加"广义"。回到我们正在讨论的话题当中，假设 $x\in V$ 在 $\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$ 下的坐标为 $x_1,\cdots,x_n$ ，则
$x=x_1\varepsilon_1+\cdots+x_n\varepsilon_n$ 于是，按照坐标的唯一性，设 $y_1,\cdots,y_n$ 是 $x$ 在 $e_1,\cdots,e_n$ 下的坐标，就有
$\begin{cases} y_1=x_1k_{11}+x_2k_{21}+\cdots+x_nk_{n1}\\ y_2=x_1k_{12}+x_2k_{22}+\cdots+x_nk_{n2}\\ \cdots\\ y_n=x_1k_{1n}+x_2k_{2n}+\cdots+x_nk_{nn} \end{cases}$ 很显然，同一个向量在两组基下的坐标，竟然是线性变换的关系。这就是在一般有限维线性空间上的基变换和坐标变换，更加具体的内容我们在下一章再作详细的补充。

子空间与商空间

子空间的定义

讨论每一个空间，我们都会给出子空间的概念，所谓子空间，就是空间的一个子集，但是这个子集不是任意的，一定是保有空间的最基本性质，对于线性空间，这个最基本的性质就是加法和数乘。

定义4.6 $V$ 是 $K$ 上的线性空间， $M\subset V$ ，如果 $M$ 满足：
(1) $\forall x_1,x_2\in M,x_1+x_2\in M$
(2) $\forall x\in M,\forall k\in K,kx\in M$
则称 $M$ 是 $V$ 的子空间

可见子空间就是就是线性空间保有加法和数乘运算的子集。该如何理解子空间呢？实际上，对于平面来说，过原点的直线上每一个点构成的集合就是平面的一个子空间，对空间来说，过原点的平面，过原点的直线的集合就是空间的子空间。可见，子空间的几何含义，就是空间中的平面或直线，平面中的直线，比原空间的维度要低。对有限维线性空间，任意子空间都是有限维线性空间，都有各自的一组基。

子空间的交空间、和空间

子空间是 $V$ 的子集，自然可以考虑集合的运算，但是，两个子空间的并不一定还是子空间，但两个子空间之交还是子空间。

命题4.5 $V$ 是 $K$ 上的线性空间， $M_1,M_2$ 是 $V$ 的两个子空间，则 $M_1\cap M_2$ 是 $V$ 的子空间

只要按照子空间的定义直接验证即可，显然，交空间的维度小于两个子空间。更重要地，我们来考虑子空间的另一个运算——和空间。

定义4.7 $V$ 是 $K$ 上的线性空间， $M_1,M_2$ 是 $V$ 的两个子空间，
$M_1+M_2=\{x_1+x_2:x_1\in M_1,x_2\in M_2\}$ 称为 $M_1,M_2$ 的和空间

当然，按照定义可以直接验证 $M_1+M_2$ 是子空间。下面我们给出一个维度公式

命题4.6(维度公式) $V$ 是 $K$ 上的有限维线性空间， $V=M_1+M_2$ ，则
$\dim(V)=\dim(M_1)+\dim(M_2)-\dim(M_1\cap M_2)$

线性空间的直和分解

下面我们先给出和空间的几何意义，我们知道，子空间在几何上表现为平面上的直线，空间上平面和直线。对平面上两条过原点不重合的直线，任一平面向量都可以唯一表示成两个子空间各取一个向量的和。

值得注意的是，这里我们加了"唯一"二字，说明，不仅能够分解，还能被唯一分解。下面我们给出直和分解的定义：

定义4.8 $V$ 是 $K$ 上的线性空间， $M_1,M_2$ 是 $V$ 的两个子空间，如果对于任意的 $x\in M_1+M_2$ ，如果 $x$ 的分解是唯一的，即： $x=x_1+x_2=y_1+y_2,x_1,y_1\in M_1,x_2,y_2\in M_2$ ，则 $x_1=y_1,x_2=y_2$ ，则称 $M_1,M_2$ 的和是直和，记为 $M_1\oplus M_2$

把一个线性空间分解为两个子空间的直和，有两层含义：
(1) $V$ 的每一个向量能表为 $M_1,M_2$ 向量的和(能分解)
(2)每一个向量分解式都是唯一的(分解的唯一性)
因此验证直和需要验证能分解以及分解的唯一性。

接下来，我们来给出判断是否是直和分解的另一些充要条件。

命题4.7 $V$ 是 $K$ 上的有限维线性空间， $M_1,M_2$ 是两个子空间， $V=M_1+M_2$ ，则以下命题等价：
(1) $V=M_1\oplus M_2$
(2) $M_1\cap M_2 = {0}$
(3) $0=x_1+x_2,x_1\in M_1,x_2\in M_2$ ，则 $x_1=x_2=0$
(4) $\dim(V)=\dim(M_1)+\dim(M_2)$

证：
(1) $\rightarrow$ (2)：
$\forall x \in M_1\cap M_2$ ， $x=x+0=0+x$
由分解的唯一性，就有 $x=0$
(2) $\rightarrow$ (3)：
由 $0=x_1+x_2,x_1\in M_1,x_2\in M_2$ ，就有
$x_1=-x_2\in M_2$ 因此， $x_1\in M_1\cap M_2$ ，于是 $x_1=0$ ，从而 $x_2=0$
(3) $\rightarrow$ (1)：
$\forall x \in V$ ，设 $x=x_1+x_2=y_1+y_2$
其中 $x_1,y_1\in M_1,x_2,y_2\in M_2$
于是， $0=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)$ ，因此
$x_1=x_2,y_1=y_2$ 从而 $V=M_1\oplus M_2$