高等代数

从数学分析的课本讲起吧. 复旦自己的课本应该可以从六十年代上海科技出的算起(指正式出版),那本书在香港等地翻印后反应据说非常好,似乎丘成桐先生做学生的时候也曾收益与此. 到90年代市面上还能看到的课本里面,有一套陈传璋先生等编的,可能就是上面的书的新版,交大的试点班有几年就拿该书做教材.另外有上海科技版的欧阳光中(谷先生的连襟),秦曾复,朱学炎三位编的课本,好象后来数学系不用了,计算机系倒还在用.那本书里面据说积分的第二中值定理的陈述有点小错. 总的说来,这些书里面都可以看到一本书的影子,就是菲赫今哥尔茨的"数学分析原理",其原因,按照秦老师的说法,是最初在搞教材建设的时候,北大选的"模本"是辛钦的"数学分析简明教程",而复旦则选了"数学分析原理". 后来自然有欧阳先生和姚允龙老师的那本数学分析.我不否认那是一种尝试,但是感觉上总有点别扭.以比较新的观点来看数学分析这样经典的内容在国际上的确是一种潮流,但是从这个意义上说该书做得并不是非常好.而且从整体的 课程体系上说,在后面有实变函数这样一门课的情况下是否有必要引入Lebesgue积分值得商榷. 下面开始讲一些课本,或者说参考书: 菲赫今哥尔茨 "微积分学教程","数学分析原理". 前一本书,俄文版共三卷,中译本共8本; 后一本书,俄文版共二卷,中译本共4本. 此书堪称经典. "微积分学教程"其实连作者

线性空间 线性空间的定义与实例 从本节开始，我们将解析几何、向量空间、矩阵空间的一些共同性质作一个进一步的抽象，得到线性空间的概念。所谓线性空间，就是在一个集合上，定义了线性运算，从而形成线性空间。所谓线性运算，就是两类：加法和数域 K K K 上的数乘。回顾解析几何、向量空间、矩阵空间的相关知识，在这些空间上，都定义了加法和数乘，并且加法和数乘都有类似的性质，即以下八条： A.加法交换律： a + b = b + a a+b=b+a a + b = b + a B.加法结合律： a + b + c = a + ( b + c ) a+b+c=a+(b+c) a + b + c = a + ( b + c ) C.存在零元： 0 + a = a 0+a=a 0 + a = a D.存在相反元： a + ( − a ) = 0 a+(-a)=0 a + ( − a ) = 0 E.数乘结合律： ( k l ) a = k ( l a ) (kl)a=k(la) ( k l ) a = k ( l a ) F. 1. a = a 1.a =a 1 . a = a G.数乘分配律1： ( k + l ) a = k a + l a (k+l)a=ka+la ( k + l ) a = k a + l a H.数乘分配律2： k ( a + b ) = k a + k b k(a+b)

复数和数域 首先，我们要引入复数，实际上，我们在中学数学中已经接触过复数了，我们知道，实数域的加法和乘法有如下性质： (1)(加法交换律) a + b = b + a a+b=b+a a + b = b + a (2)(加法结合律) a + b + c = a + ( b + c ) a+b+c=a+(b+c) a + b + c = a + ( b + c ) (3)(存在零元) 0 + a = a 0+a=a 0 + a = a (4)(存在相反元) ( − a ) + a = 0 (-a)+a=0 ( − a ) + a = 0 (5)(乘法交换律) a b = b a ab=ba a b = b a (6)(乘法结合律) a b c = a ( b c ) abc=a(bc) a b c = a ( b c ) (7)(存在单位元) 1. a = a 1.a=a 1 . a = a (8)(存在逆元) a ≠ 0 , a ( 1 a ) = 1 a\neq 0,a(\frac{1}{a})=1 a  ​ = 0 , a ( a 1 ​ ) = 1 (9)(分配律) a ( b + c ) = a b + a c a(b+c)=ab+ac a ( b + c ) = a b + a c 我们知道，为了研究一元多次方程的根，实数域是远远不够的。如方程 x 2 + 1 = 0

一、复旦大学高等代数教材（第三版）：“十二五”国家级规划教材 亚马逊： 购买网址 当当： 购买网址 京东： 购买网址 淘宝： 购买网址 二、复旦大学高等代数学习指导书（第三版）：学生称之为“高代白皮书” 亚马逊： 购买网址 当当： 购买网址 京东： 购买网址 淘宝： 购买网址 三、作者的相关介绍 谢启鸿的个人简介 复旦大学2015届本专科毕业生心目中的好老师 复旦大学2015年度本科教学贡献奖 复旦大学2017届本专科毕业生心目中的好老师 复旦大学官方推送—师说13 | 谢启鸿：逸才著华章 丹心映春晖 复旦大学教务处官方推送--谢启鸿：用板书进行高等代数在线教育丨走进10000多名学生选择的“高等代数” 复旦大学校报《复旦》第1017期专题报道【讲台上的青椒】数学科学学院谢启鸿老师的上课秘笈 要有一流的科研 也要有一流的教学（在2011年教师节复旦大学青年教师座谈会上的发言） 优秀书院导师系列报道—采访志德书院优秀导师谢启鸿 谢启鸿老师访谈录之一（10级，撰稿人：侯灵子） 谢启鸿老师访谈录之二（12级，撰稿人：陈筠臻） 【象牙塔，人生路】新学期Mathhall第一期——from谢启鸿老师 来源： https://www.cnblogs.com/torsor/p/5177189.html

1、 高等代数课程的学习方法 谢启鸿谈“如何学好高等代数” 欢迎使用复旦大学高等代数学习体系 数学之美与新生寄语 2、 复旦大学高等代数教材（又称绿皮书，第三版） 复旦大学《高等代数学（第三版）》教材勘误表 复旦大学《高等代数学（第三版）》教材习题答案 复旦大学高等代数教材被评为"十五"、"十一五"和"十二五"国家级规划教材. 现使用本教材的高校有: 清华大学数学系、物理系和经管专业, 浙江大学数学拔尖人才班, 中国人民大学数学试验班, 上海财经大学财经数学试验班, 杭州师范大学数学试验班, 赣南师范大学数学学院等. 3、 复旦大学 高等代数学习指导书（又称白皮书，第三版） 复旦大学《高等代数学习指导书（第三版）》勘误表 复旦大学《高等代数学习指导书（第三版）》前言 复旦大学数学学院团学联访谈--谢启鸿老师和他的高代白皮书 复旦大学数学学院历届本科生对高代白皮书的评价 复旦大学高等代数教材和学习指导书的购买 4、 复旦大学高等代数每周一题 复旦大学高等代数每周一题 (1.0版) （备用下载地址： 我的分享-->每周一题解答 ） 复旦大学高等代数历届每周一题汇总 复旦数院13级--16级本科生对每周一题的评价 15级微信推送 16级微信推送 北大数院16级本科生卢维潇对每周一题的评价 复旦数院17级本科生对每周一题的评价 17级微信推送 复旦数院18级本科生对每周一题的评价 5、

写这一篇文章的主要目的是为了记录我在开始接受高等教育之后所经历的数学学习经历，包括具体课程的罗列和自己一些简短的感悟。 高考结束后（2018年暑假） 在大约高二的时候就因种种原因开始打定主意本科要学数学，然后把这种热情带到了填报志愿的那一刻。自从高考结束后便开始看数学分析和高等代数。这一阶段我使用的教材主要是： \textbf{ 数学分析 }：菲赫金哥尔兹《数学分析原理》 \textbf{ 高等代数 }：丘维声《高等代数》 来源： https://www.cnblogs.com/SNOWMATH/p/11437391.html

请见"跟锦数学"今日头条. 跟锦数学210707 裴礼文第二版第855页例7.2.9(2) 跟锦数学210706 裴礼文例 7.4.4 曲面面积一个计算 (通过正交变换做) 跟锦数学210705 通过部分分式求不定积分 跟锦数学210704 Lagrange 中值定理的应用II 跟锦数学210703 Lagrange 中值定理的应用I 跟锦数学210702 Cauchy 中值定理的应用 跟锦数学210701 函数导数存在的一个充分条件 跟锦数学210630 某种直和的存在性 跟锦数学210629 一串无穷限积分的敛散性 跟锦数学210628 无穷小数列的一个性质 跟锦数学210627 一个函数的幂级数展开 (通过复变函数) 跟锦数学210626 一个极限的计算 (同时除以绝对值最大的) 跟锦数学210625 矩阵 A,B 的乘积是单位矩阵的结论 跟锦数学210624 x 的幂的极限 跟锦数学210623 利用等价性判定级数的敛散性 跟锦数学210622 Hadamard 不等式: 涉及凸函数 跟锦数学210621 非负递增数列的一个性质 跟锦数学210620 向量的乘积是否可对角化 跟锦数学210619 多项式的互素性: 自变量的幂, 函数的幂 跟锦数学210618 正定矩阵, 反对称矩阵的柔和 跟锦数学210617 二阶导数中值的存在性 跟锦数学210616

同时合同对角化问题 Theorem： 设$A$是$n$阶正定实对称矩阵，$B$为同阶的实对称矩阵，则必存在可逆矩阵$C$，使得 \[C'AC=I_n,C'BC=diag\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\}\] 其中$\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\}$为矩阵$A^{-1}B$的特征值. Proof： 由于$A$为正定的，则存在可逆矩阵$P$，使得$P'AP=I_n$.由于矩阵$P'BP$为实对称矩阵，则存在正交矩阵$Q$，使得$Q'(P'BP)Q=diag\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\}$. 令$C=PQ$，则满足$C'BC=diag\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\}$.由于 \[C'(\lambda A-B)C=\lambda I_n-C'BC=diag\{\lambda-\lambda_1,\cdots,\lambda-\lambda_n\}\] 则$\lambda_i$为多项式$|\lambda A-B|$的根，又$A$可逆，则也为$|\lambda I_n-A^{-1}B|$的根. 利用上述Theorem证明几个例子： Example 1： 设$A$为$n$阶正定实对称矩阵，$B$为同阶半正定实对称矩阵，则$|A+B|\geq |A|+|B|$，等号成立的充要条件是$B

解析几何 解析几何有被代数吃掉的趋势，不过就数学系的学生而言，还是应该好好学一下，我大一没有好好学，后来学别的课时总感觉哪里有些不太对劲，后来才发现是自己的数学功底尤其是几何得功底没有打好。 1吴光磊《解析几何简明教程》高等教育出版社 写的简单明了，我基础没有打好，快速翻了一下这本书收获还是不少的。不过打基础的时候还是从下面三本选一本看，把这本当参考书。 2《解析几何》丘维声，北京大学出版社 我大一时的课本 3《解析几何》吕根林，许子道 4《解析几何》尤承业 2，3，4写的大同小异 习题集有巴赫瓦洛夫的《解析几何习题集》不过不是那么容易找的到了 代数 前面说过代数有吃掉几何的倾向，所以有许多与时俱进的《代数与几何》。不过还是建议分开学，一门一门的打好基础。许多所谓的简明教程，还有将代数与解析几何合在一起的课本目前都还不是非常成熟。不建议使用。 1《高等代数》北京大学数学系代数与几何教研室代数小组 目前国内各大学尤其是综合大学数学系广泛采用的代数教材，有着悠久的传统。目前通常使用的是第三版。也是各大学的考研指定用书。这本书更多以教师为主，给了教师以很大的发挥空间，受到教师的普遍欢迎。不过对基础不好的学生在某些地方有一定的难度。讲到了所有应该讲的内容。 2《高等代数》张禾瑞，郝鈵新 被各个师范大学的数学系广泛使用，和1同分天下。张禾瑞已经去世，但书已经出到第五版。 3《线性代数》李烔生

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