高等代数笔记1：基础知识

复数和数域

首先，我们要引入复数，实际上，我们在中学数学中已经接触过复数了，我们知道，实数域的加法和乘法有如下性质：
(1)(加法交换律)$a+b=b+a$
(2)(加法结合律)$a+b+c=a+(b+c)$
(3)(存在零元)$0+a=a$
(4)(存在相反元)$(-a)+a=0$
(5)(乘法交换律)$ab=ba$
(6)(乘法结合律)$abc=a(bc)$
(7)(存在单位元)$1.a=a$
(8)(存在逆元)$a\neq 0,a(\frac{1}{a})=1$
(9)(分配律)$a(b+c)=ab+ac$

我们知道，为了研究一元多次方程的根，实数域是远远不够的。如方程$x^2+1=0$我们知道该一元二次方程在实数域内无根，原因就在于不存在实数$x$，$x^2=-1$，为了解决负数不能开根的问题，我们需要对数域进行扩充。我们规定$i^2=-1$。显然$i$一定不是实数，因为，所有实数的平方都非负，这样，我们就引入了一个新的数$i$，这个数不是实数，是一个假象的数，英文为imaginary number，据此，我们定义一种新的数：$a+bi,a\in R,b\in R$。

我们称这种形式的数为复数，全体复数记为$C$，复数的加法和乘法规定如下：
(1)$(a_1+b_1i)+(a_2+b_2i)=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i$
(2)$(a+bi)(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i$
如果$c=a+bi$，$a$称为$c$的实部，记为$Re(c)$，$b$称为$c$的虚部，记为$Im(c)$，两个复数相等当且仅当两个复数实部和虚部都相等，减法和除法就定义为加法和乘法的逆运算。容易验证复数有如下的运算规律：
(1)(加法交换律)$c_1+c_2=c_2+c_1$
(2)(加法结合律)$c_1+c_2+c_3=c_1+(c_2+c_3)$
(3)(存在零元)$0+c=c \quad 0=0+0i$
(4)(存在相反元)$c+(-c)=0\quad -c = -Re(c)+(-Im(c))i$
(5)(乘法交换律)$c_1c_2=c_2c_1$
(6)(乘法结合律)$c_1c_2c_3=c_1(c_2c_3)$
当然还满足
(7)(存在单位元)$1.c=c$
(8)(存在逆元)$c\neq 0,c.(\frac{1}{c})=1$
(9)(分配律)$c(c_1+c_2)=c_1c+c_2c$

(1)-(5)的验证的比较简单，我们仅验证(6)-(9):
(6)设$c_1=a_1+b_1i$$c_2=a_2+b_2i$$c_3=a_3+b_3i$则$c_1c_2=(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)i$$c_1c_2c_3=[a_3(a_1a_2-b_1b_2)-b_3(a_1b_2+a_2b_1)] +[a_3(a_1b_2+a_2b_1)+b_3(a_1a_2-b_1b_2)]i\\ =[a_1(a_2a_3-b_2b_3)-b_1(a_3b_2+a_2b_3)]+ [a_1(b_2a_3+a_2b_3)+b_1(a_2a_3-b_2b_3)]i\\ =c_1(c_2c_3)$(7)$1=1+0i$，而对任意的$c=a+bi$，都有$(a+bi).1=(a.1-b.0)+(b.1+a.0)i=c$(8)$c=a+bi\neq 0,\sqrt{a^2+b^2}>0$，令$d=\frac{a-bi}{a^2+b^2}$，则$cd = \frac{(a+bi)(a-bi)}{a^2+b^2} = 1$(9)$c_1=a_1+b_1i,c_2=a_2+b_2i,c_3=a_3+b_3i$，则$c_1(c_2+c_3)=(a_1+b_1i)((a_2+a_3)+(b_2+b_3)i)\\ =[a_1(a_2+a_3)-b_1(b_2+b_3)]+[a_1(b_2+b_3)+b_1(a_2+a_3)]i\\ =[(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)i]+ [(a_1a_3-b_1b_3)+(a_1b_3+a_3b_1)i]\\ =c_1c_2+c_1c_3$

实际上，以上九条运算性质，不仅复数和实数有，有理数也同样有以上九条性质。我们把具有以上九条运算性质的数系就称为数域。
定义1.1 $S$是一个数系，在$S$上定义的加法和乘法，并且满足：
(1)$\forall a,b\in S,a+b=b+a$
(2)$\forall a,b,c \in S,a+b+c=a+(b+c)$
(3)$\exists 0\in S,\forall a \in S,a+0=a$
(4)$\forall a \in S,\exists b\in S,a+b=0$
(5)$\forall a,b\in S,ab=ba$
(6)$\forall a,b,c\in S,abc=a(bc)$
(7)$\exists 1\in S,\forall a\in S,1.a=a$
(8)$\forall a\in S,a\neq 0,\exists b\in S,ab=1$
(9)$\forall a,b,c\in S,a(b+c)=ab+ac$
则称$S$是一个数域

有理数系、实数系和复数系都是数域，因而我们又称为有理数域、实数域和复数域，根据数域的定义，我们还有如下的性质：
(1)零元必唯一：

假设$\alpha,\beta\in S$，$\forall a \in S$，都有$\alpha + a= a = \beta +a$那么$\alpha + \beta = \beta + \alpha = \beta = \alpha$

(2)单位元必唯一：

假设$\alpha,\beta\in S$，$\forall a \in S$，都有$\alpha a = \beta a = a$那么$\alpha\beta = \beta\alpha = \beta = \alpha$

(3)相反元必唯一：

$\forall a \in S$，$a+b=0=a+c$，那么$a+b+c=0+c=c=a+(b+c)=a+(c+b)=a+c+b=0+b=b$

(4)逆元必唯一：

$\forall a \in S,a\neq 0$，$ab=ac=1$，那么$abc=a(bc)=a(cb)=(ac)b=1c=c=1b=b$

数域就构成一个代数系统，概括了有理数域、实数域和复数域之间共有的本质的运算性质。并且，有理数、实数和复数是扩充的关系，作为集合，就有如下的包含关系：$Q\subset R\subset C$我们知道，每一次数系的扩充，都是一次运算的解放：从正整数到整数的扩充，带来了减法运算的解放；从整数到有理数的扩充，带来了除法运算的解放；从有理数到实数域的扩充，带来了极限运算的解放；而从实数域到复数域的扩充，则带来了根式运算的解放。我们知道，一元二次方程的求根公式为$\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$当$b^2-4ac<0$时，在实数域上是无法开根的，然而，扩充到复数域就可以进行开根运算，一元二次方程在复数域上就必然有两个解。根式运算的完备性，对于代数方程的求解是至关重要的！
接下来，我们给出复数的几何意义，我们知道，复数由实部和虚部共同决定，复数也和平面上点构成一一对应的关系。这样，复数的加法实际上就是平面上向量的加法。复数的模就定义为对应平面上向量的长度，即：$|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$复数的幅角定义为x轴正向与$c$的夹角，记为$\arg{c}$，如果$c=a+bi$，就有：$\arg{c}=\begin{cases} \arctan{\frac{b}{a}}&a>0,b\ge0\\ \frac{\pi}{2}&a=0,b>0\\ \pi+\arctan{\frac{b}{a}}&a<0,b\ge0\\ \arctan{\frac{b}{a}}&a>0,b<0\\ -\frac{\pi}{2}&a=0,b<0\\ -\pi+\arctan{\frac{b}{a}}&a<0,b<0 \end{cases}$可以合并成以下五种情况：
$\arg{c}=\begin{cases} \arctan{\frac{b}{a}}&a>0\\ \frac{\pi}{2}&a=0,b>0\\ -\frac{\pi}{2}&a=0,b<0\\ \pi+\arctan{\frac{b}{a}}&a<0,b\ge0\\ -\pi+\arctan{\frac{b}{a}}&a<0,b<0 \end{cases}$幅角、模和复数通过以下的欧拉公式沟通起来，规定$e^{i\theta}=\cos{\theta}+\sin{\theta}i$则$c=|c|e^{i\theta}=|c|\cos{\theta}+|c|\sin{\theta}i$我们称这种表示法为指数表示法，接下来，我们来考虑指数表示法和复数乘法的关系。$(r_1e^{i\theta_1})(r_2e^{i\theta_2}) =r_1r_2(\cos{\theta_1}+i\sin{\theta_1}) (\cos{\theta_2}+i\sin{\theta_2})\\ =r_1r_2[(\cos{\theta_1}\cos{\theta_2}-\sin{\theta_1}\sin{\theta_2}) +i(\cos{\theta_1}\sin{\theta_2}+\sin{\theta_1}\cos{\theta_2})]\\ =r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}$也就是说，在指数表示法下，指数乘法的性质和实数域上乘法的性质，在形式上是一致的。这方便我们求解复数的乘方。即：$(re^{i\theta})^n=r^ne^{i(n\theta)}$我们再给出共轭复数的概念：$\overline{c}=\overline{a+bi}=a-bi$共轭复数的指数表示为$\overline{c}=|c|e^{-i\arg{c}}$并且：$\overline{c}c=|c|^2=a^2+b^2$最后我们给出共轭运算和复数乘法的关系：$\overline{c_1c_2}=\overline{c_1}.\overline{c_2}$只需要作简要的检验即可$\overline{(a+bi)(c+di)} =\overline{ac-bd+(ad+bc)i} =ac-bd-(ad+bc)i =(a-bi)(c-di)$这说明共轭和乘法运算是可交换的。

两类代数方程

代数学基本定理与多项式的根

本章简要介绍代数方程的解的一些理论。$K$是一个数域，$a_0,a_1,\cdots,a_n\in K$，称方程$a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n=0$是$K$上的代数方程，其中$a_0\neq 0$

当然，我们并没有规定方程的解一定是$K$中的数，但是，方程的解必定与数域有关，在不同的数域上，方程解的情况是不同的。举例来说：$x^2-1=0$在有理数域上就有两个不同的根$\pm 1$，但是$x^2-2=0$就在有理数域上没有根，但是在实数域上有两个不同的根$\pm \sqrt{2}$，再考虑方程$x^2+1=0$方程在实数域没有根，在复数域有一对共轭的根$\pm i$，之所以在实数域没有根，是实数域上负数不能开根，这一限制使得实数域对开根运算不是封闭的，扩充到复数域上，就能找到两个根，因而，求解代数方程，数域是至关重要的。复数域对加减乘除和开根运算都封闭，对于求解代数方程而言，已然是足够的，下面，我给不加证明地给出代数基本定理。
定理1.1(代数基本定理) $K$($Q,R,C$)是一个数域，$a_0,a_1,\cdots,a_n\in K$，代数方程$a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n=0$必有一个复根

该定理的证明要用到复变函数论的知识，不是在线性代数的范畴内，这里就不给出代数基本定理的证明。下面我们统一讨论复数域上的多项式，代数方程的根与多项式的因式分解密切相关：
引理1.1 $a_0,a_1,\cdots,a_n\in C$，对复数域上的多项式$f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n$对任意的复数$a\in C$，存在$n-1$次多项式$q(x)$，有$f(x)=(x-a)q(x)+f(a)$

推论1.1 $a_0,a_1,\cdots,a_n\in C$，对复数域上的多项式$f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n$如果$a$是代数方程$f(x)=0$的根，则存在$C$上的$n-1$次多项式$q(x)$$f(x)=q(x)(x-a)$

定理1.2 $C$上的$n$次代数方程$a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n=0$必有$n$个复根$c_1,\cdots,c_n$，并且$f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n =a_0(x-c_1)\cdots(x-c_n)$

证：
用数学归纳法证明：$n=1$时定理成立，假设对$k$次多项式$p(x)=a_0x^k+\cdots+a_k$，并有$k$个复数$c_1,\cdots,c_k$是$p(x)=0$的$k$个根，并且$p(x)=a_0(x-c_1)\cdots(x-c_k)$对$k+1$次多项式$f(x)=a_0x^{k+1}+a_1x^k+\cdots+a_{k+1}$，其中$a_0\neq 0$，由代数基本定理，$f(x)=0$必有一根$c_{k+1}$，于是$f(x)=a_0(x-c_{k+1})q(x)$其中$q(x)$是首项为$1$的$k$次多项式，由归纳假设，又存在$c_1,\cdots,c_k$，使得$q(x)=(x-c_1)\cdots(x-c_k)$于是$f(x)=a_0(x-c_1)\cdots(x-c_{k+1})$由构造$c_1,\cdots,c_{k+1}$是$f(x)=0$是$k+1$个根

当然，$n$次方程的$n$个根可以有重复的根，这样，$n$次复多项式$p(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n$就可以因式分解为$p(x)=a_0\prod_{i=1}^{m}{(x-c_i)^{k_i}}$$k_i$称为$c_i$的重数，并且$\sum_{i=1}^m{k_i}=n$

方程的根和方程的系数有何关系呢？对$n$次多项式$p(x)=a_0x^n+\cdots+a_n$，存在$n$次复数（允许重复）$c_1,\cdots,c_n$，就有$p(x)=a_0(x-c_1)\cdots(x-c_n)$按排列组合的观点看，$(x-c_1)\cdots(x-c_n)$的所有一次项相当于有1个括号取x，其余$n-1$个括号取$-c_i$，于是启发我们：$a_{i} = a_0\sum_{1\le k_1 <\cdots<k_i \le n}{ (-1)^i c_{k_1}\cdots c_{k_i} }$令$\delta_i(c_1,\cdots,c_n) = \sum_{1\le k_1 <\cdots<k_i \le n}{ (-1)^i c_{k_1}\cdots c_{k_i} }$就有
$p(x)=a_0\sum_{i=0}^n{\delta_i(c_1,\cdots,c_n)x^{n-i}}$该定理的证明可以用数学归纳法，比较简单，这里省略。我们看看该定理在$n=2$时的情形：对二次方程$x^2+a_1x+a_2=0$其中$a_1,a_2\in C$，方程必有两个复根$c_1,c_2$，于是：$a_1 = -c_1-c_2$$a_2=c_1c_2$这实际上就是二次方程的韦达定理。

下面我们来讨论实数域上的代数方程及多项式，$a_0,\cdots,a_n\in R$，假设$c$是实代数方程$a_0x^n+\cdots+a_n=0$的根，由共轭运算和乘法运算的关系，其共轭$\overline{c}$也是方程的根，而$(x-c_1)(x-c_2)=x^2-(c_1+c_2)x+c_1c_2$的系数都是实数，再由数学归纳法可以推出，实系数代数方程的根必然有一对对互为共轭的根构成，同时
定理1.3 奇数次实代数方程必有一个实根
有关多项式环的理论，我们在后面再作详细论述。

线性方程组的高斯消元法

接下来我们介绍的是和线性代数密切相关的线性方程组
$\begin{cases} a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\ \cdots\\ a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n=b_m \end{cases}$实际上，我们在中学，已经接触了求解线性方程组的方法，也就是消元与回代。所谓的消元法，就是通过以下三种操作减少方程的变元。
(1)调换两个方程的位置
(2)一个方程加上另一个方程的k倍
(3)一个方程左右两边乘以一个非零常数
我们称为线性方程组的初等变换，方程的初等变换是可逆的，这样就容易证明初等变换前后方程的解是不变的。

下面我们给出一例求解方程组的例子：
例1.1 求解方程组
$\begin{cases} 2x_2-x_3 = 1\\ x_1-x_2+x_3=0\\ 2x_1+x_2-x_3=-2 \end{cases}$

解：
第1步：调换第一个方程和第二个方程
$\begin{cases} x_1-x_2+x_3=0\\ 0x_1+2x_2-x_3=1\\ 2x_1+x_2-x_3=-2 \end{cases}$第2步，第三个方程减去第一个方程的2倍
$\begin{cases} x_1-x_2+x_3=0\\ 0x_1+2x_2-x_3=1\\ 0x_1+3x_2-3x_3=-2 \end{cases}$第3步，第三个方程除以3后和第二个方程交换位置
$\begin{cases} x_1-x_2+x_3=0\\ 0x_1+x_2-x_3=-\frac{2}{3}\\ 0x_1+2x_2-x_3=1 \end{cases}$第4步，第一个方程加上第二个方程，第三个方程减去第二个方程的2倍
$\begin{cases} x_1+0x_2+0x_3=-\frac{2}{3}\\ x_2-x_3=-\frac{2}{3}\\ x_3 = \frac{7}{3} \end{cases}$最后一步，第二个方程加上第三个方程，就得到$x_1=-\frac{2}{3},x_2=\frac{5}{3},x_3=\frac{7}{3}$

以上求解过程，实际上与$x_1,x_2,x_3$无关，只与系数和右端的常数项有关。我们把这些数字抽象出来，称为一个数表
$\left[ \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&b_1\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&b_2\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}&b_m \end{matrix} \right]$由$mn$个$K$中的数排成$m$行$n$列的数表，称为$m\times n$矩阵，上面的矩阵称为方程组的增广矩阵，如果$b_1=\cdots=b_m$，称方程组为齐次线性方程组，此时方程组的求解甚至与常数项无关，只与矩阵
$\left[ \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \end{matrix} \right]$有关，称为方程组的系数矩阵，则方程组的初等变换相当于矩阵的如下操作
(1)交换矩阵的两行
(2)某一行乘以非零常数
(3)某一行加上另一行的k倍
以上三个变换称为矩阵的初等行变换，求解方程组的过程，就相当于对增广矩阵进行初等行变换，称为矩阵消元法，又称为高斯消元法。任何矩阵都可以通过初等行变换化为行阶梯状，再补充上变元，进行回代，就可以解出线性方程组。

来源：CSDN

作者：p_wh

链接：https://blog.csdn.net/weixin_43868339/article/details/104574865