413. 等差数列划分

1.题目描述

如果一个数列至少有三个元素，并且任意两个相邻元素之差相同，则称该数列为等差数列。
例如，以下数列为等差数列:
在这里插入图片描述
以下数列不是等差数列。

数组 A 包含 N 个数，且索引从0开始。数组 A 的一个子数组划分为数组 (P, Q)，P 与 Q 是整数且满足 0<=P<Q<N 。
如果满足以下条件，则称子数组(P, Q)为等差数组：
元素 A[P], A[p + 1], …, A[Q - 1], A[Q] 是等差的。并且 P + 1 < Q 。
函数要返回数组 A 中所有为等差数组的子数组个数。
示例:
在这里插入图片描述

2.思路（动态规划）

dp[i] 表示以 A[i] 为结尾的等差递增子区间的个数。当 A[i] - A[i-1] == A[i-1] - A[i-2]，那么 [A[i-2], A[i-1], A[i]] 构成一个等差递增子区间。而且在以 A[i-1] 为结尾的递增子区间的后面再加上一个 A[i]，一样可以构成新的递增子区间。
dp[2] = 1
[0, 1, 2]
dp[3] = dp[2] + 1 = 2
[0, 1, 2, 3], // [0, 1, 2] 之后加一个 3
[1, 2, 3] // 新的递增子区间
dp[4] = dp[3] + 1 = 3
[0, 1, 2, 3, 4], // [0, 1, 2, 3] 之后加一个 4
[1, 2, 3, 4], // [1, 2, 3] 之后加一个 4
[2, 3, 4] // 新的递增子区间

综上，在 A[i] - A[i-1] == A[i-1] - A[i-2] 时，dp[i] = dp[i-1] + 1。因为递增子区间不一定以最后一个元素为结尾，可以是任意一个元素结尾，因此需要返回 dp 数组累加的结果。

3.代码

class Solution {
public:
    int numberOfArithmeticSlices(vector<int>& A) {
        if(A.empty()){
            return 0;
        }
        vector<int> dp(A.size());
        int res = 0;
        for(int i = 2;i < A.size();++i){
            if(A[i] - A[i-1] == A[i-1] - A[i-2]){
                dp[i] = dp[i-1] + 1;
                res += dp[i];
            }
        }
        return res;
    }
};

4.优化

因为dp[i] = dp[i-1] + 1，dp[i]只与dp[i-1]有关，所以可以用一个变量dp代替。

class Solution {
public:
    int numberOfArithmeticSlices(vector<int>& A) {
        if(A.empty()){
            return 0;
        }
        int dp = 0;
        int res = 0;
        for(int i = 2;i < A.size();++i){
            if(A[i] - A[i-1] == A[i-1] - A[i-2]){
                dp += 1;
                res += dp;
            }
            else{
                dp = 0;
            }
        }
        return res;
    }
};

4.复杂度分析

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(1)

来源：CSDN

作者：overlordmax

链接：https://blog.csdn.net/jiangdongxiaobawang/article/details/104449884

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等差数列