#Max Sum

Description：
一个数字序列，求 ${{max(\sum_{k=i}^j k^2,1<=i<=j<=n)}}$

状态：dp[i],前i个数，以第i个数结尾的子串的和的最大值，之所以必须要求以第i个数结尾，是因为子串要求数字必须连续上去。
DP方程：
$dp[i]=max(dp[i-1]+a[i],a[i])$

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<math.h>
#include<string>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#define ms0(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define ll long long
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int dp[100005],ans,s,fst,lst,ncase,n;
int main(){
    cin>>ncase;
    for(int t=1;t<=ncase;t++){
        if(t>1) printf("\n");
        s=fst=lst=1;
        printf("Case %d:\n",t);
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&dp[i]);
        ans = dp[1];
        for(int i=2;i<=n;i++){
            if(dp[i-1]>=0) dp[i]=dp[i-1]+dp[i];
            else s=i;
            if(dp[i]>ans){
                ans = dp[i];
                fst=s;
                lst=i;
            }
        }
        printf("%d %d %d\n",ans,fst,lst);
    }
    return 0;
}

由于是从前往后更新，所以可以省去dp[]数组，用sum变量表示dp[i]

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<math.h>
#include<string>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#define ms0(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define ll long long
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int ncase=1,a,sum,ans,n,s,e,temp;
int main(){
    cin>>ncase;
    for(int t=1;t<=ncase;t++){
        if(t>1) printf("\n");
        temp=s=e=1;sum=0;ans= -(1<<30);
        printf("Case %d:\n",t);
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d",&a);
            if(sum>=0){
                sum+=a;
            }else{
                sum=a;
                temp=i;
            }
            if(sum>ans){
                ans = sum;
                s = temp;
                e = i;
            }
        }
        printf("%d %d %d\n",ans,s,e);
    }
    return 0;
}

Max Sum plus plus

Description：给定长度为N的序列S。定义sum(i , j) = s[i] + … + s[j]。给定m，求m段sum(i1, j1) + … + sum(im,jm)。且没有ix <= iy <=jx。

状态： ${{dp[i][j]}}$ 为以第j个数结尾的子串（a[j必须取，子串的要求），分成i段的最大值。
DP方程 $dp[i][j]=max\begin{cases} dp[i][j-1]+a[j]\\ max_{i-1<=k<=j-1}(dp[i-1][k])+a[j] \end{cases}$

int m,n,a[maxn],dp[maxn][maxn];
int main(){
    while(~scanf("%d%d",&m,&n)){
        ms0(dp);ms0(f);
        for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
        for(int i=1;i<=m;i++){
            int mmax= -1e9;
            for(int j=i;j<=n;j++){
                for(int k=i-1;k<=j-1;k++){
                    mmax = max(dp[i-1][k],mmax);
                }
                dp[i][j]=max(dp[i][j-1],mmax)+a[j];
            }
        }
        int mmax= -1e9;
        for(int i=1;i<=n;i++) mmax = max(mmax,dp[m][i]);
        printf("%d\n",mmax);
    }
    return 0;
}

但很可惜，上述代码的空间复杂度为O(mn),时间复杂度为O(mn^2)不可AC,但是原理即是如此。
怎么优化呢
①滚动数组，可以略去第一维，空间复杂度优化为O(n);
②用**f[j-1]**维护 ${{max_{i-1<=k<=j-1}(dp[i-1][k])}}$ ,时间复杂度优化为O(m*n)，辅助变量mmax存储中间值;
AC代码：

const int maxn =1e6+10;
int m,n,a[maxn],dp[maxn],f[maxn];
int main(){
    while(~scanf("%d%d",&m,&n)){
        ms0(dp);ms0(f);
        for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
        int mmax= 0 ;
        for(int i=1;i<=m;i++){
            mmax = -(1<<30);
            for(int j=i;j<=n;j++){
                dp[j]=max(dp[j-1]+a[j],f[j-1]+a[j]);
                f[j-1]=mmax;
                mmax=max(mmax,dp[j]);
            }
        }
        printf("%d\n",mmax);
    }
    return 0;
}

来源：CSDN

作者：好喜欢萨摩猪

链接：https://blog.csdn.net/qq_44846324/article/details/104266529

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HDU1003 Max Sum（最大子串和）& HDU1024 Max Sum Plus Plus

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