231. 2的幂

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ID: 231
TITLE: 2的幂
TAG: Java，Python，C++，C

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概述

我们不打算在这里讨论时间复杂度为 $\mathcal{O}(\log N)$ 的解决方案。

class Solution(object):
    def isPowerOfTwo(self, n):
        if n == 0:
            return False
        while n % 2 == 0:
            n /= 2
        return n == 1

class Solution {
  public boolean isPowerOfTwo(int n) {
    if (n == 0) return false;
    while (n % 2 == 0) n /= 2;
    return n == 1;
  }
}

该问题将通过位运算在 $\mathcal{O}(1)$ 的时间复杂度解决，通过使用如下的按位技巧：

• 如何获取二进制中最右边的 1：x & (-x)。
• 如何将二进制中最右边的 1 设置为 0：x & (x - 1)。

以下的两种解决方案背后的思想都是一样的：2 的幂在二进制中是有一个 1 后跟一些 0：

$1 = (0000 0001)_2$
$2 = (0000 0010)_2$
$4 = (0000 0100)_2$
$8 = (0000 1000)_2$

不是 2 的幂的二进制中有一个以上的 1。

$3 = (0000 0011)_2$
$5 = (0000 0101)_2$
$6 = (0000 0110)_2$
$7 = (0000 0111)_2$

除了 0，我们应该单独处理。

方法一：位运算：获取二进制中最右边的 1

算法：

获取最右边的 1：
首先讨论为什么 x & (-x) 可以获取到二进制中最右边的 1，且其它位设置为 0。

在补码表示法中，$-x = \lnot x + 1$。换句话说，要计算 $-x$，则要将 $x$ 所有位取反再加 1。

在二进制表示中，$\lnot x + 1$ 表示将该 1 移动到 $\lnot x$ 中最右边的 0 的位置上，并将所有较低位的位设置为 0。而 $\lnot x$ 最右边的 0 的位置对应于 $x$ 最右边的 1 的位置。

总而言之，$-x = \lnot x + 1$，此操作将 $x$ 所有位取反，但是最右边的 1 除外。

因此，$x$ 和 $-x$ 只有一个共同点：最右边的 1。这说明 x & (-x) 将保留最右边的 1。并将其他的位设置为 0。

检测是否为 2 的幂：

我们通过 x & (-x) 保留了最右边的 1，并将其他位设置为 0 若 x 为 2 的幂，则它的二进制表示中只包含一个 1，则有 x & (-x) = x。

若 x 不是 2 的幂，则在二进制表示中存在其他 1，因此 x & (-x) != x。

因此判断是否为 2 的幂的关键是：判断 x & (-x) == x。

class Solution(object):
    def isPowerOfTwo(self, n):
        if n == 0:
            return False
        return n & (-n) == n

class Solution {
  public boolean isPowerOfTwo(int n) {
    if (n == 0) return false;
    long x = (long) n;
    return (x & (-x)) == x;
  }
}

class Solution {
  public:
  bool isPowerOfTwo(int n) {
    if (n == 0) return false;
    long x = n;
    return (x & (x - 1)) == 0;
  }
};

bool isPowerOfTwo(int n) {
  if (n == 0) return false;
  long x = n;
  return (x & (x - 1)) == 0;
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(1)$。
• 空间复杂度：$O(1)$。

方法二：位运算：去除二进制中最右边的 1

算法：

去除二进制中最右边的 1：

首先讨论为什么 x & (x - 1) 可以将最右边的 1 设置为 0。

(x - 1) 代表了将 x 最右边的 1 设置为 0，并且将较低位设置为 1。

再使用与运算：则 x 最右边的 1 和就会被设置为 0，因为 1 & 0 = 0。

检测是否为 2 的幂：

1. 2 的幂二进制表示只含有一个 1。
2. x & (x - 1) 操作会将 2 的幂设置为 0，因此判断是否为 2 的幂是：判断 x & (x - 1) == 0。

class Solution(object):
    def isPowerOfTwo(self, n):
        if n == 0:
            return False
        return n & (n - 1) == 0

class Solution {
  public boolean isPowerOfTwo(int n) {
    if (n == 0) return false;
    long x = (long) n;
    return (x & (x - 1)) == 0;
  }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(1)$。
• 空间复杂度：$O(1)$。

来源：CSDN

作者：陈乐乐happy

链接：https://blog.csdn.net/weixin_39139505/article/details/103959816