同余方程详解

同余概述

定义： 同余给定正整数$m$，若用$m$去除两个整数$a$和$b$，所得的余数相同，称a和b对模$m$同余，记作$a≡b(mod\ m)$,并称该式为同余式，否则，称$a$和$b$对模$m$不同余。
定理：

1. $a≡b(mod\ m)$，当且仅当$m|(a-b)$
2. $a≡b(mod\ m)$，当且仅当存在正整数$k$，使得$a=b+km$
3. 同余关系是等价关系，即
   (1）自反性：$a≡a(mod\ m)$
   (2）对称性：$a≡b(mod\ m)$，则 $b≡a(mod\ m)$
   (3）传递性：$a≡b(mod\ m),b≡c(mod\ m)$，则 $a≡c(mod\ m)$

定义：由与同余关系是等价关系，对于所有整数会被分为$m$的集合，这些集合称为模$m$剩余类(同余类)。每个集合中的任意两个数都是模$m$同余的。
定义：一个整数集合，且满足对于任意的整数在此集合中存在一个元素与该整数模$m$同余，该整数$0，1，2，... ，m-1$的集合是模$m$的完全剩余系。
定理：若$a$，$b$，$c$，$d$是整数，$m$是正整数，且$a≡b(mod\ m),c≡d(mod\ m)$，则：
4. $a+b≡b+c(mod\ m)$
5. $a-b≡b-c(mod\ m)$
6. $ac≡bc(mod\ m)$
7. $ac≡bc(mod\ m),c≠0$，则$a≡b(mod\ \frac{m}{gcd(m,c)})$
8. $ax+cy=bx+dy(mod\ m)$，其中$x，y$为任意整数，即同余式可以相加
9. $ac≡bd(mod\ m)$，即同余式可以相乘
10. $a^n≡b^n$，$n>0$
11. $f(a)≡f(b)(mod\ m)$，其中$f(x)$为任一整数多项式

定理：若a，b，c，d为整数，m为正整数，则：

1. 若$a≡b(mod\ m)$，且$d|m$，则$a≡b(mod\ d)$
2. 若$a≡b(mod\ m)$，则$(a,m)=(b,m)$，其中$(a,m)$为$a$和$m$的最大公约数
3. $a≡b(mod\ m_i)\ (1≤i≤n)$，同时成立，当且仅当$a≡b(mod[m_1,m_2,...,m_n])$

证明上式1， 若$a≡b(mod\ m)$ ，则$ax≡bx(mod\ m)$，令$xd=m$，两边同除$x$，$a≡b(mod\ \frac{m}{gcd(m,x)})$，$gcd(m,x)=x$，即$a≡b(mod\ d)$
证明上式2，若$d$为$a$和$m$的公约数，且$m|(a-b)，d|a，d|m$，所以$d|b$，对于所有$d$上式都成立,反之亦然成立，即$a$与$m$和$b$与$m$的公约数集相同，所以$(a,m)=(b,m)$

一元线性同余方程

定义：$a，b$是整数，$m$是正整数，形如$ax≡b(mod\ m)$，且$x$是未知整数的同余式称为一元线性同余方程.
定理：$a，b$是整数，$m$是正整数，$(a,m)=d$.如果$d|b$，则方程恰有$d$个模$m$的不同余的解，否则方程无解。
证明：方程有解时，$(ax-b)=ym$，$y$为整数，即$ax-ym=b$，由裴蜀定理可知，对任何整数$a、b$和它们的最大公约数$d$，关于未知数$x$和$y$的线性不定方程（称为裴蜀等式）：若$a,b$是整数,且$gcd(a,b)=d$，那么对于任意的整数$x,y$,都有$ax+by$一定是$d$的倍数，特别地，一定存在整数$x,y$，使$ax+by=d$成立。因为y为整数，不是定值，所以把上式化为$\frac{a}{d}x-\frac{m}{d}y=\frac{b}{d}$，随着$y$值变化，$x$存在$d$个不同余的解。所以如果$(a,m)=d$，$d|b$，那么方程恰有$d$个不同余解 ，$d$个解分别关于$\frac{m}{d}$同余，分别为$x，x+\frac{m}{d}，x+2*\frac{m}{d}，...，x+(d-1)*\frac{m}{d}$

求解一元线性同余方程时可以使用扩展欧几里得算法.

void exgcd(int a,int b,int&d,int&x,int&y)//扩展欧几里得算法
{
    if(b==0)
    {
        x=1,y=0;
        d=a;
        return;
    }
    else 
    {
        int r=exgcd(b,a%b,x,y); //r=GCD(a,b)=GCD(b, a%b)
        int t=x;
        x=y;
        y=t-a/b*y ;
        return;
    }
}

int f(int a,int b,int m)//计算同余方程所有解
{
	int x,y,d;
	exgcd(a,m,d,x,y);
	if(b%d)
		return -1;//无解
	x=x*(b/d)%m;
	for(int i=1;i<=d;i++)
		ans[i]=(x+(i-1)*m/d)%m;
}

一元线性同余方程组

任意的一元线性同余方程组都可以化为$x≡b(mod\ m)$，而一元线性同余方程组就是多个这样的式子联合求解。
例如：$x≡b_1(mod\ m_1)$ 与$x≡b_2(mod\ m_2)$，这两个方程就构成了一个同余方程组。
令$m=[m_1,m_2]$,此时方程组有解的充分必要条件是$(m_1,m_2)|b_1-b_2$,此时方程仅有一个非负整数解。
证明：讲两式写为$x=b_1+m_1y_1,x=b_2+m_2y_2$，联立可得$b_1+m_1y_1=b_2+m_2y_2$，即$m_1y_1-m_2y_2=b_1-b_2$，由裴蜀定理可知成立。此时方程的解即为$(b_1+m_1y_1)\%m$或$(b_2+m_2y_2)\%m$
上面式子$m_1y_1-m_2y_2=b_1-b_2$可由扩展欧几里得求解$y_1$和$y_2$.
对于多个方程的方程组，这样两两求解合并即可求出最后的解。

int solve()
{
    int n,m1,b1,m2,b2,x,y,d,flag=1;
    cin>>n>>m1>>b1;
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        cin>>m2>>b2;
        int c=b2-b1;
        exgcd(m1,m2,d,x,y);
        if(c%d!=0)
            flag=0;
        x=(x*c/d)%(m2/d);//求小于m2/d的解
        b1=m1*x+b1;
        m1=m1*(m2/d);//合并后m应为m1和m2的最小公倍数
    }
    if(flag) return b1;
    else return -1;
}

中国剩余定理

中国剩余定理是中国古代求解一次同余式组的方法。是数论中一个重要定理。又称中国余数定理。
给定一个同余式组如下：
$S\left\{ \begin{aligned} &x≡a_1(mod\ m_1)&\\ &x≡a_2(mod\ m_2)&\\ &x≡a_1(mod\ m_1)&\\ &\ \ \ \ .&\\ &\ \ \ \ .&\\ &\ \ \ \ .&\\ &x≡a_n(mod\ m_n)&\\ \end{aligned} \right.$
中国剩余定理说明：假设整数$m_1,m_2, ... ,m_n$两两互质，则对任意的整数：$a_1,a_2, ... ,a_n$，方程组$S$有解，并且通解可以用如下方式构造得到：
设$M=\prod\limits_{i=1}^n{m_i}，M_i=\frac{M}{m_i}，t_i=M_i^{-1}$($t_i$为$M_i$模$m_i$意义下的逆元),即$t_iM_i≡1(mod\ m_i)$
那么方程组的通解$x=a_1t_1M_1+a_2t_2M_2+...+a_nt_nM_n+kM$
在模M情况下只有一个解$x=(\sum\limits_{i=1}^n{a_it_iM_i})mod\ M$
下面证明摘自百度百科：

中国剩余定理求解同余方程组：

int m[maxx];
int intChina(int n)
{
    int M=1,Mi,x0,y0,d,ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        M*=m[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        Mi=M/m[i];
        exgcd(Mi,m[i],d,x0,y0)
        ans=(ans+Mi*x0*a[i])%M;
    }
    return ans;
}

由中国剩余定理可得的两个定理

1. 若$a，b$是正整数，那么有$(2^a-1,2^b-1)=2^(a,b)-1$.
2. 正整数$2a-1，2b-1$是互质的，当且仅当a与b是互质的。

中国剩余定理应用:
poj1006.Biorhythms
题目大意：人自出生起就有体力，情感和智力三个生理周期，分别为23，28和33天。一个周期内有一天为峰值，在这一天，人在对应的方面（体力，情感或智力）表现最好。通常这三个周期的峰值不会是同一天。现在给出三个日期，分别对应于体力，情感，智力出现峰值的日期。然后再给出一个起始日期，要求从这一天开始，算出最少再过多少天后三个峰值同时出现。

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxx=1e6+7,M=21252;
void exgcd(int a,int b,int&d,int&x,int&y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1,y=0;
        d=a;
        return;
    }
    else
    {
        exgcd(b,a%b,d,x,y);
        int t=x;
        x=y;
        y=t-a/b*y ;
        return;
    }
}
int m[maxx],a[maxx];
int intChina(int n)
{
    int Mi,x0,y0,d,ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        Mi=M/m[i];
        exgcd(Mi,m[i],d,x0,y0);
        ans=(ans+Mi*x0*a[i])%M;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    int p,e,i,d,s=1;
    m[1]=23,m[2]=28,m[3]=33;
    while(cin>>p>>e>>i>>d&&p!=-1)
    {
        a[1]=p;
        a[2]=e;
        a[3]=i;
        int ans=intChina(3);
        while(ans<=d)
            ans+=M;
        cout<<"Case "<<s++<<": the next triple peak occurs in "<<ans-d<<" days."<<endl;
    }
}

来源：CSDN

作者：Crazy_pine

链接：https://blog.csdn.net/weixin_43956585/article/details/104192344