扩展欧几里得算法及应用

欧几里得算法

即利用辗转相除法求最大公因数

ll gcd(ll a,ll b){
	return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

裴蜀定理(贝祖定理)

若a,b是整数，那么一定存在整数x,y，使ax+by=gcd(a,b)成立

重要推论：a和b互质的充要条件是存在整数x,y，有ax+by=1

扩展欧几里得算法

扩展欧几里得算法又称exgcd，就是利用欧几里得算法，求出贝祖定理ax+by=gcd(a,b)的整数解

证明：

∵gcd(a,b)=gcd(b,a%b),gcd(b,a%b)=bx+(a%b)y

∴a₁x₁+b₁y₁=gcd(a₁,b₁)=gcd(b₁,a₁%b₁)=b₁x₂+(a₁%b₁)y₂

令a₂=b₁,b₂=a₁%b₁

∴a₁x₂+b₂y₂=gcd(a₂,b₂)=gcd(b₂,a₂%b₂))=b₂x₃+(a₂%b₂)y₃

同理…

最后可化简为gcd(a_n,0)=a_nx_n+0*y_n=a_n

得到最后一组解为x_n=1,y_n=0

∵a%b=a-a/b*b，其中a/b是计算机除法，不是数学意义的除法

在第一次我们化简的等式中有a₁x₁+b₁y₁=b₁x₂+(a₁%b₁)y₂

∴a₁x₁+b₁y₁=b₁x₂+(a₁-a₁/b₁*b₁)y₂=a₁y₂+b₁(x₂-a₁/b₁*y₂)

∴x₁=y₂,y₁=x₂-a₁/b₁*y₂

然后由最后一组解回溯，即可求得x₁,y₁

下面的代码中是简洁版本：我们都是由下一层得到上一层的，当我们由最后一层返回倒数第二层的时候，我们把y传给上一层的x，这样由上面公式来看是正确结果，而上一层的y怎么求呢，上一层的y等于下一层的x减去a/b乘以下一层的y。而下一层的y我们已经赋值给了当前层的x，下一层的x我们已经赋值给了当前层的y，因此仔细思考，y-=(a/b)*x;就可以得到当前层的y，再一层层向上传递即可

代码之所以返回a,b的最大公因数是因为我们可能用到，这样就不需要再求一遍gcd了

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(!b){
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    int gcd=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=(a/b)*x;
    return gcd;     //返回的是a,b的最大公因数
}

应用

1.求解二元一次不定方程

已知ax+by=c，设r=gcd(a,b)，则

• 若c%r!=0，该方程组无整数解

• 若c%r==0，我们可以先求出ax+by=r对应的一组整数解，然后再乘以c并除以r即可得到ax+by=c的整数解（求的是其中的一组特殊解）

2.求逆元

若a*x在模p意义下的结果为1，那么称x为a在模p意义下的逆元，x又写作a^-1记作ax ≡ 1 (mod p)

那么我们可以转化为求解ax+py=1

由于最后的求得的x可能是负数，因此我们再进行处理：(x%p+p)%p

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(!b){
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    int gcd=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=(a/b)*x;
    return gcd;     //返回的是a,b的最大公因数
}

ll inv(ll a,ll p){
	ll x,y;
	exgcd(a,p,x,y);
    return (x%p+p)%p;
}

3.求解线性同余方程

暂时不会，以后再补

来源：CSDN

作者：Happig丶

链接：https://blog.csdn.net/qq_44691917/article/details/104146087