概率论——超几何随机变量

文章目录

• 超几何随机变量
• 1 定义
• 2 超几何随机变量的近似
• 3 参数为$(n,N,m)$的超几何随机变量的期望和方差

超几何随机变量

1 定义

  假定一个袋子里面有$N$个球，其中有$m$个白球，$N-m$个黑球，现在随机地从袋子中不放回地取出$n$个球，令随机变量$X$表示取出来的白球数，则：
$P\{X = i\} = \cfrac{\begin{pmatrix}m\\i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}N-m\\n-i\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}N\\n\end{pmatrix}}\ \ \ \ \ \ \ i = 0,1,\cdots,n$
一个随机变量$X$如果其概率质量函数形如上式，其中$N,m,n$值给定，那么就称$X$为超几何随机变量。
  注意，$i$的取值范围是0到$n$，如果$i$不满足$n-(N-m)\le i \le min(n,m)$，那么$P\{X=i\} = 0$，但是上式总是成立的，因为我们规定了在$k\lt 0$或$r\lt k$时，$\begin{pmatrix}r\\k\end{pmatrix}=0$。

2 超几何随机变量的近似

  现在我们已经知道了从$N$个球（白球比例$p=m/N$）中不放回地随机取$n$个球，那么取中的白球数为超几何随机变量。现在考虑一种情况，即对与$n$来说，如果$m,N$都很大的话，那么有放回和无放回地取球没什么差别，因为不管取出来的是什么球，接下来取到白球的概率仍然近似于$p$。直观感觉就是，当$m,N$相对于$n$很大时，$X$的概率质量函数应该近似于参数为$(n,p)$的二项随机变量的概率质量函数。我们来推导一下：
$\begin{aligned} P\{X = i\} &= \cfrac{\begin{pmatrix}m\\i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}N-m\\n-i\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}N\\n\end{pmatrix}}\\ &=\cfrac{m!}{(m-i)!i!}*\cfrac{(N-m)!}{(N-m-n+i)!(n-i)!}*\cfrac{(N-n)!n!}{N!}\\ &=\begin{pmatrix}n\\i\end{pmatrix}\cfrac{m}{N}*\cfrac{m-1}{N-1}\cdots\cfrac{N-m}{N-i}*\cfrac{N-m-1}{N-i-1}\cdots\cfrac{N-m-(n-i-1)}{N-i-(n-i-1)}\\ &\approx \begin{pmatrix}n\\i\end{pmatrix}p^i(1-p)^{n-i} \end{aligned}$
其中最后一个等式成立的条件是$p=m/N$且$m,N$相对于$n，i$来说都很大。

3 参数为$(n,N,m)$的超几何随机变量的期望和方差

  按照之前的期望和方差的求法,通过找到递推关系来计算，我们先来计算$E[X^k]$：
$E[X^k] = \sum_{i=0}^ni^kP\{X=i\} =\sum_{i=0}^ni^k\begin{pmatrix}m\\i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}N-m\\n-i\end{pmatrix}/\begin{pmatrix}N\\n\end{pmatrix}$
利用恒等式$i\begin{pmatrix}m\\i\end{pmatrix}=m\begin{pmatrix}m-1\\i-1\end{pmatrix}，n\begin{pmatrix}N\\n\end{pmatrix}=N\begin{pmatrix}N-1\\n-1\end{pmatrix}$带入上式得：
$E[X^k] = \cfrac{mn}{N}\sum_{i=1}^ni^{k-1}\begin{pmatrix}m-1\\i-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}N-m\\n-i\end{pmatrix}/\begin{pmatrix}N-1\\n-1\end{pmatrix}$
换元令$j = i-1$，上式得：
$\begin{aligned} E[X^k] &= \cfrac{mn}{N}\sum_{j=0}^{n-1}(j+1)^{k-1}\begin{pmatrix}m-1\\j\end{pmatrix}\begin{pmatrix}N-m\\n-j-1\end{pmatrix}/\begin{pmatrix}N-1\\n-1\end{pmatrix} \\ &=\cfrac{mn}{N}E[(Y+1)^{k-1}] \end{aligned}$
其中$Y$为参数为$(n-1,N-1,m-1)$的超几何随机变量。在上式的基础上令k = 1得到期望：
$E[X] = \cfrac{mn}{N} = np$
即取出白球数的期望值为$\cfrac{mn}{N}$。再令$k=2$得到：
$E[X^2] = \cfrac{mn}{N}E[Y+1]=\cfrac{mn}{N}[\cfrac{(m-1)(n-1)}{N-1}+1]$
则方程$Var(X)$为：
$Var(X) = E[X^2] - E[X]^2 = \cfrac{mn}{N}[\cfrac{(m-1)(n-1)}{N-1}+1-\cfrac{mn}{N}]\\ = np(1-p)(1-\cfrac{n-1}{N-1})$
根据上一节的内容，当$N,m$相对于$n,i$很大时，上式方差$Var(X)$近似于：
$Var(X)\approx np(1-p)$
  总的来说，$E[X]$与又放回取球（即白球数是参数为$(n,p)$的二项随机变量）是一样的，而当球数很大时，$Var(X)$近似于有放回的情形。

参考资料：《概率论基础教程》Sheldon M.Ross

来源：CSDN

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链接：https://blog.csdn.net/qq_39378221/article/details/104105521