平衡树(splay)学习笔记

Splay和一般的BST的区别大概就是：每次插入一个元素后，把它旋转到根

其核心操作就是$splay$和$rotate$

Rotate：把$x$转到$x$的父亲的位置上

　　$rotate$很好理解，自己画个图玩玩就会了，代码要注意细节

void pushup(int x)
{
    sz[x]=sz[ch[x][0]]+sz[ch[x][1]]+cnt[x];
}

void rotate(int x)
{
    int y=fa[x],z=fa[y],k=(x == ch[y][1]);
    if(z) ch[z][y == ch[z][1]]=x;
    fa[x]=z;
    ch[y][k]=ch[x][k^1], fa[ch[x][k^1]]=y;
    ch[x][k^1]=y, fa[y]=x;
    pushup(y); pushup(x);
}

Splay:把$x$转到目标$goal$的儿子的位置上(若$goal=0$,则把$x$转到根节点)

　　分三种情况：

　　　　1.$x$与$x$的父亲所属的儿子的种类相同（例如$x$是$y=fa[x]$的左儿子,$fa[x]$是$z=fa[fa[x]]$的左儿子）

　　　　2.与上面一种相反

　　　　3.$fa[fa[x]]=goal$

　　对于第一种情况，先把$y$转到$z$，再把$x$转到$y$

　　对于第二种情况，把$x$一路转上去

　　对于第三种情况，转一次$x$即可

void splay(int x,int goal)
{
    while(fa[x] != goal)
    {
        int y=fa[x],z=fa[y];
        if(z != goal)
            (x == ch[y][1]) == (y == ch[z][1]) ? rotate(y) : rotate(x);
        rotate(x);
    }
    if(!goal) rt=x;
}

除了以上操作，$Splay$还有一些附带操作，大都很好理解，但是$Delete$和$Find_kth$要注意一下

$Findkth$:找到当前第$k$大的数

　　细节很多，要想清楚

int Find_kth(int x)
{
    int cur=rt;
    while(sz[ch[cur][0]] >= x || sz[ch[cur][0]]+cnt[cur] < x)
        if(sz[ch[cur][0]] >= x) cur=ch[cur][0];
        else x-=sz[ch[cur][0]]+cnt[cur], cur=ch[cur][1];
    return cur;
}

$Delete$:删除某个数$x$(若有多个只删除一个)

　　先把$x$的前驱转到根节点，在把它的后继转到根节点的儿子上

　　这样要删的数$x$就只可能独立地挂在它的后继的左儿子上

　　然后直接删就好了

void Delete(int x)
{
    int lst=Pre(x),nxt=Suf(x);
    splay(lst,0); splay(nxt,lst);
    int tar=ch[nxt][0];
    if(cnt[tar]>1) --cnt[tar], splay(tar,0);
    else ch[nxt][0]=0, splay(nxt,0); //这里splay是为了更新size
}

　　注意：为了防止边界上出现一些奇奇怪怪的错误，开局先在平衡树内插入$inf$和$-inf$

普通平衡树：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=110000,inf=2e9+7;

int rt,node,fa[N],ch[N][2],cnt[N],sz[N],val[N];

void pushup(int x)
{
    sz[x]=sz[ch[x][0]]+sz[ch[x][1]]+cnt[x];
}

void rotate(int x)
{
    int y=fa[x],z=fa[y],k=(x == ch[y][1]);
    if(z) ch[z][y == ch[z][1]]=x;
    fa[x]=z;
    ch[y][k]=ch[x][k^1], fa[ch[x][k^1]]=y;
    ch[x][k^1]=y, fa[y]=x;
    pushup(y); pushup(x);
}

void splay(int x,int goal)
{
    while(fa[x] != goal)
    {
        int y=fa[x],z=fa[y];
        if(z != goal)
            (x == ch[y][1]) == (y == ch[z][1]) ? rotate(y) : rotate(x);
        rotate(x);
    }
    if(!goal) rt=x;
}

void Insert(int x)
{
    if(!rt)
    {
        rt=++node,val[node]=x,++cnt[node],++sz[node];
        return;
    }
    int cur=rt;
    while(233)
    {
        ++sz[cur];
        if(val[cur] == x) {++cnt[cur]; return;}
        int z=ch[cur][val[cur]<x];
        if(!z)
        {
            ch[cur][val[cur]<x]=z=++node,fa[z]=cur;
            val[z]=x,++cnt[z],++sz[z];
            splay(z,0);
            return ;
        }
        cur=z;
    }
}

int Find(int x)
{
    int cur=rt;
    while(val[cur] != x)
        cur=ch[cur][val[cur]<x];
    return cur;
}

int Pre(int x)
{
    int cur=rt,ret;
    while(cur)
        if(val[cur]<x) ret=cur, cur=ch[cur][1];
        else cur=ch[cur][0];
    return ret;
}

int Suf(int x)
{
    int cur=rt,ret;
    while(cur)
    {
        if(val[cur]>x) ret=cur, cur=ch[cur][0];
        else cur=ch[cur][1];
    }
    return ret;
}

void Delete(int x)
{
    int lst=Pre(x),nxt=Suf(x);
    splay(lst,0); splay(nxt,lst);
    int tar=ch[nxt][0];
    if(cnt[tar]>1) --cnt[tar], splay(tar,0);
    else ch[nxt][0]=0, splay(nxt,0);
}

int Find_kth(int x)
{
    int cur=rt;
    while(sz[ch[cur][0]] >= x || sz[ch[cur][0]]+cnt[cur] < x)
        if(sz[ch[cur][0]] >= x) cur=ch[cur][0];
        else x-=sz[ch[cur][0]]+cnt[cur], cur=ch[cur][1];
    return cur;
}

int main()
{
    //freopen(" .in","r",stdin); freopen(" .out","w",stdout);
    int n,opt,x;
    Insert(inf); Insert(-inf);
    scanf("%d",&n);
    while(n--)
    {
        scanf("%d%d",&opt,&x);
        if(opt == 1) Insert(x);
        if(opt == 2) Delete(x);
        if(opt == 3) {x=Find(x); splay(x,0); printf("%d\n",sz[ch[x][0]]);}
        if(opt == 4) printf("%d\n",val[Find_kth(++x)]);
        if(opt == 5) printf("%d\n",val[Pre(x)]);
        if(opt == 6) printf("%d\n",val[Suf(x)]);
    }
}

来源：https://www.cnblogs.com/w19567/p/12191274.html

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