闲扯
多项式乘法练习题
题面
Solution
我们设 \(s_{n,m}=\begin{Bmatrix} n\\ m \end{Bmatrix}\) 。
考虑第二类斯特林数的通项式:
\[
s_{n,m}=\sum_{i=0}^m (-1)^iC_{m}^i\frac{(m-i)^n}{m!}\\
=\sum_{i=0}^m (-1)^i\frac{m!}{(m-i)!\ i!}\frac{(m-i)^n}{m!}\\
=\sum_{i=0}^m \frac{(-1)^i}{i!}\cdot \frac{(m-i)^n}{(m-i)!}
\]
可以发现这是一个卷积的形式。
我们设 \(\hat{A}=\sum_{i=0}^{\infin}\frac{(-1)^i}{i!}x^i,\hat{B}=\sum_{i=0}^{\infin}\frac{i^n}{i!}x_i,\hat{S}=\sum_{i=0}^{\infin}s_i\cdot x_i\) 。
我们有 \(\hat{S}=\hat{A}\cdot \hat{B}\) ,直接上 \(NTT\) 即可。
考虑怎么证明通项式。
由定义可知 \(s_{n,m}\) 表示 \(n\) 个数恰好分入 \(m\) 个集合的方案数。
考虑容斥。
我们枚举 \(i\) 表示有 \(i\) 个集合一定不选,方案数为 \(C_m^i\) ,其他的任意放入剩下的 \(m-i\) 个集合中,方案数为 \((m-i)^n\) ,由于集合是不区分的,所以还要除以 \(m!\) 。
加上容斥系数,我们即可得到上方的通项式。
Code
#include<bits/stdc++.h> #define del(a,i) memset(a,i,sizeof(a)) #define ll long long #define inl inline #define il inl void #define it inl int #define ill inl ll #define re register #define ri re int #define rl re ll #define mid ((l+r)>>1) #define lowbit(x) (x&(-x)) #define INF 0x3f3f3f3f using namespace std; template<class T>il read(T &x){ int f=1;char k=getchar();x=0; for(;k>'9'||k<'0';k=getchar()) if(k=='-') f=-1; for(;k>='0'&&k<='9';k=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+k-'0'; x*=f; } template<class T>il _print(T x){ if(x/10) _print(x/10); putchar(x%10+'0'); } template<class T>il print(T x){ if(x<0) putchar('-'),x=-x; _print(x); } ll mul(ll a,ll b,ll mod){long double c=1.;return (a*b-(ll)(c*a*b/mod)*mod)%mod;} it qpow(int x,int m,int mod){ int res=1,bas=x; while(m){ if(m&1) res=(1ll*res*bas)%mod; bas=(1ll*bas*bas)%mod,m>>=1; } return res; } const int MAXN = 8e5+5,mod = 167772161,g = 3,ig = 55924054; int n,lim=1,len,rev[MAXN],a[MAXN],b[MAXN],inv[MAXN],ifac[MAXN]; it add(int x,int y){ return x+y>=mod?x+y-mod:x+y; } it mul(int x,int y){ return 1ll*x*y%mod; } il NTT(int *a,int ty){ for(ri i=0;i<lim;++i) if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]); for(ri md=1;md<lim;md<<=1){ int w_n=qpow(ty==1?g:ig,(mod-1)/(md<<1),mod); for(ri r=md<<1,j=0;j<lim;j+=r){ int w=1; for(ri k=0;k<md;++k,w=mul(w,w_n)){ int x=a[j+k],y=mul(w,a[j+md+k]); a[j+k]=add(x,y),a[j+md+k]=add(x,mod-y); } } } if(ty==-1){ int inv_lim=qpow(lim,mod-2,mod); for(ri i=0;i<lim;++i) a[i]=mul(a[i],inv_lim); } } int main(){ // freopen(".in","r",stdin); // freopen(".out","w",stdout); read(n),inv[0]=inv[1]=1,ifac[0]=1; for(ri i=2;i<=n;++i) inv[i]=mul(mod-mod/i,inv[mod%i]); for(ri i=1;i<=n;++i) ifac[i]=mul(ifac[i-1],inv[i]); for(ri i=0,k=1;i<=n;++i,k*=-1) a[i]=k==1?ifac[i]:mod-ifac[i],b[i]=mul(qpow(i,n,mod),ifac[i]); for(;lim<=2*n;lim<<=1) ++len; for(ri i=0;i<lim;++i) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len-1)); NTT(a,1),NTT(b,1); for(ri i=0;i<lim;++i) a[i]=mul(a[i],b[i]); NTT(a,-1); for(ri i=0;i<=n;++i) printf("%d ",a[i]); return 0; }
来源:https://www.cnblogs.com/TheShadow/p/12046172.html