整数拆分
整数拆分：n拆成m个整数的和的方案数=n拆分成若干不超过m的数的和的方案数。
证明：有个叫Ferrers图的东西，大概的意思就是
n拆成m个整数图形化，然后图形倒置就成了第二个。
然后证明这是一个单射且是满射（即这是一个双射
双射有性质：|A| = |B|
证毕。
减法原理
n个数，每个数是1到m中的一个，问至少有一个>=k的方案数
减法原理\(m^n - (k - 1)^n\)
除法原理
有事件A和B1,B2,…,Bk，当A发生的时候，一定有恰好一个Bi发生，且每种发生的方案数相同。现在知道A发生的方案数，求B1发生的方案数。
\(f(B1) = \frac{f(A))}{k}\)
插板法
容斥原理
其实也满足概率的计算
错排
求长度为n且满足\(P_i \ne i\)的排列个数\(D_n\)
第二类斯特林数
组合意义：求n个球放到m个盒子里，球可区分、盒子不可区分，每个盒子都非空的方案数。
考虑用容斥计算
\(f(S) = (m - |S|)^n\)
\(\sum{-1^{|S|}f(S)} = \sum_{i= 0}^m(m - i)^n *(-i)^n*\dbinom{m}{i}\)
即\(S(n,m) = \frac{1}{m!}\sum_{i= 0}^m(m - i)^n *(-i)^n*\dbinom{m}{i}\)
他有一个十分重要的式子
\[ n^{k}=\sum_{i=1}^{k}\left(\begin{array}{c}{n} \\ {i}\end{array}\right) \cdot i ! \cdot S(k, i) \]
上面那个式子考虑组合意义就可以证明了
也有递推式\(S(n,k)=S(n-1,k-1)+k * S(n-1,k))\)
Min-Max 容斥
$max(S) = $$
\sum_{T \subseteq S}(-1)^{|T|-1} \min (T)
$
对于期望同样适用
$E(max(S)) = $$
\sum_{T \subseteq S}(-1)^{|T|-1} E(\min (T)
)$
第一类斯特林数
n个人分配到k个圆桌上，圆桌旋转算相等的方案数
递推式:\(s(n,k) = s(n - 1,k - 1) + (n - 1) * s(n - 1 , k)\)
Bell Numbers
n个数分成若干个集合的方案数
显然：
\(B(n) = \sum_{i = 1}^n S(n , i)\)
也有B之间的递推式：
$B(n)=sum{B(n-i)*C(n-1,i-1)} $
欧拉数
\(E(n,k)\)表示大小为n的排列，有k个\(P_i < P_{i + 1}\)
有时候这样表示
\(\left\langle\begin{array}{l}{ n} \\ {k}\end{array}\right\rangle\)
有递推式
\(E(n,k)=(k+1)*E(n-1,k)+(n-k)*E(n-1,k-1)\)