给定一个离散序列: a0,a2,⋯,an,⋯
零阶差分(原序列): Δ0hn=an
一阶差分: Δ1hn=an+1−an
二阶差分: Δ2hn=Δ1hn+1−Δ1hn=an+2−2⋅an+1+an
三阶差分: Δ3hn=Δ2hn+1−Δ2hn=an+3−3⋅an+2+3⋅an+1−an
p阶差分: Δphn=Δp−1hn+1−Δp−1hn
观察发现: Δphn=∑i=0p(−1)p−i⋅Cip⋅an+i
如果ax是关于x的k次多项式, 即: ax=∑i=0kbi⋅xi
Δ1hx=ax+1−ax=∑i=0kbi⋅(x+1)i−∑i=0kbi⋅xi=∑i=0kbi∑j=0iCji⋅xj−∑i=0kbi⋅xi=∑j=0kxj∑i=jkbi⋅Cji−∑i=0kbi⋅xi=∑i=0kxi∑j=ikbj⋅Cij−∑i=0kbi⋅xi=∑i=0kxi⋅(∑j=ik(bj⋅Cij)−bi)=∑i=0k−1xi∑j=i+1kCij⋅bj(80)(81)(82)(83)(84)(85)(86)
定理1: k次多项式差分后为k−1次多项式
差分的线性叠加性: hn=α⋅fn+β⋅gn
Δhn=(α⋅fn+1+β⋅gn+1)−(α⋅fn+β⋅gn)=α⋅(fn+1−fn)+β⋅(gn+1−gn)=α⋅Δfn+β⋅Δgn(87)(88)(89)
对于一个k次多项式ax=∑i=0kbi⋅xi
已知它的Δ0h0,Δ1h0,Δ2h0,⋯,Δkh0
根据二项式反演:
已知: f(n)=∑i=0nCin⋅g(i), 则: g(n)=∑i=0n(−1)n−i⋅Cin⋅f(i)
令: g(n)=Δnh0=⎧⎩⎨∑i=0n(−1)n−i⋅Cin⋅ai(0≤n≤k)0(n>k)
反演得到: f(n)=an=∑i=0nCin⋅Δih0=∑i=0kCin⋅Δih0
考虑k次多项式ai的前n项和sn=∑i=0nai
sn=∑i=0nai=∑i=0n∑j=0kCji⋅Δjh0=∑j=0kΔjh0∑i=0nCji
∑i=0nCmi=Cm+1n+1(数学归纳法可证明)
sn=∑j=0kΔjh0∑i=0nCji=∑j=0kΔjh0⋅Cj+1n+1=∑i=0kCi+1n+1⋅Δih0
