并查集概念
并查集是一种用来管理元素分组情况的数据结构。并查集可以高效地进行如下操作。
- 查询元素a和元素b是否属于同一组。
- 合并元素a和元素b所在的组。
模板
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class {private: vector<int> parent, rank;public: DisjointSets(int num) { parent = vector<int>(num, 0); rank = vector<int>(num, 0); for (int i = 0; i < num; i++) { parent[i] = i; } } int find(int p) { if(p == parent[p]) return p; parent[p] = find(parent[p]); return parent[p]; } void unionTwo(int p, int q) { int rootP = find(p); int rootQ = find(q); if (rootP == rootQ) return; if (rank[rootQ] > rank[rootP]) { parent[rootP] = rootQ; }else { parent[rootQ] = rootP; if (rank[rootP] == rank[rootQ]) { rank[rootP]++; } } } };
Disjoint Sets （以下简称DS）的本质是许多棵树。每个圈子里的元素都组成了一棵树。然而我们的表示方法并不是用常规tree node的方法记录的，而是用数组.
DS里面拥有一个大小为N的vector parent，对于parent[i],存储着第i号元素所属圈子的老大。DS里面的另一个vector rank用来存储树的高度，它的作用会在Union操作中体现出来。
DS里面经典的两个操作分别是find和Union.
find
find就是寻找这个圈子的老大（这棵树的root）。对于find来说，在寻找root的过程中，我们不仅要找到root，还要把沿途经过的所有node的parent都变成root，也就是把自己和沿途所有的node都变成root的孩子（同时也变成了深度为1的leaf）。这个操作叫path compression，意义在于下次我们如果寻找这些node的老大，就可以一步到位了（直接通过parent[i]找到root）。这对时间复杂度的优化是非常重要的。
Union
Union是什么？是我们知道了两个元素属于同一个圈子。如果我们的DS已经知道这一点，那么没问题，如果我们的DS不知道这一点，我们要告诉它。并且很重要的是，这里不是针对两个元素，而是要把这两个元素所处的两个圈子融合成一个圈子，这也就是Union叫法的由来。那么我们分别用find找到两个元素所处tree的root，然后通过比较rank[root]的大小看哪棵树更大。最后我们把小的那棵树的root变成大的那棵树的root的孩子。之所以要选择把小的那棵树融合进大的那棵树，是因为我们希望让树的孩子的高度都尽量小。假设小的树的孩子数量是N1，大的树的孩子数量是N2。如果把小数融合进大树，那么我们让N1个node的高度都增加了1，反之我们要让N2个node的高度都增加1。后者明显是违反我们希望让树的孩子的高度都尽量小这个意愿的。
Disjoint Sets using union by rank and path compression Graph Algorithm中以具体的例子演示了Union的过程。
例题
Friend Circles
123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354 | class Solution {public: class { private: vector<int> parent, rank; int count; public: DisjointSets(int num) { count = num; parent = vector<int>(num, 0); rank = vector<int>(num, 0); for (int i = 0; i < num; i++) { parent[i] = i; } } int find(int p) { if(p == parent[p]) return p; parent[p] = find(parent[p]); return parent[p]; } void unionTwo(int p, int q) { int rootP = find(p); int rootQ = find(q); if (rootP == rootQ) return; count -= 1; if (rank[rootQ] > rank[rootP]) { parent[rootP] = rootQ; }else { parent[rootQ] = rootP; if (rank[rootP] == rank[rootQ]) { rank[rootP]++; } } } int getCount() { return count; } }; int findCircleNum(vector<vector<int>>& M) { DisjointSets ds(M.size()); 大专栏 并查集 for (int i = 0, n = M.size(); i < n; ++i) { for (int j = 0; j < i; ++j) { if (M[i][j]) ds.unionTwo(i, j); } } return ds.getCount(); }}; |
对于整个matrix，如果M[i][j]为1，我们则需要告诉DS i和j属于一个圈子。这里因为对称性，我们只需要遍历半个matrix就可以得到所有信息。在DS里面我增加了一个count。count代表现在DS中独立圈子的数量。因为最开始我们什么信息都不知道，假设每个人都属于自己的独立圈子，所以count为人的个数，之后每一次Union操作，如果我们发现i和j所处圈子（的老大）不同（root1 ！= root2），那么说明有两个圈子要合并成一个，那么就少了一个圈子，所以count要减1.最后我们返回count，也就是圈子的数量。
Number of Islands
1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768697071727374757677787980818283848586 | class Solution {public: class { private: vector<int> parent, rank; int count; public: DisjointSets(int num) { count = num; parent = vector<int>(num, 0); rank = vector<int>(num, 0); for (int i = 0; i < num; i++) { parent[i] = i; } } int find(int p) { if(p == parent[p]) return p; parent[p] = find(parent[p]); return parent[p]; } void unionTwo(int p, int q) { int rootP = find(p); int rootQ = find(q); if (rootP == rootQ) return; count -= 1; if (rank[rootQ] > rank[rootP]) { parent[rootP] = rootQ; }else { parent[rootQ] = rootP; if (rank[rootP] == rank[rootQ]) { rank[rootP]++; } } } int getCount() { return count; } }; int numIslands(vector<vector<char>>& grid) { if(grid.size() == 0 || grid[0].size() ==0) return 0; int m = grid.size(); int n = grid[0].size(); int num = 0; unordered_map<int, int> hashMap; for(int i = 0; i < m; ++i){ for(int j = 0; j < n; ++j){ if(grid[i][j] == '1'){ hashMap[i*n+j] = num; num++; } } } DisjointSets ds(num); for(int i = 0; i < m; ++i){ for(int j = 0; j < n; ++j){ if(grid[i][j] == '1'){ if(i - 1 >= 0 && hashMap.count((i-1)*n+j)){ ds.unionTwo(hashMap[(i-1)*n+j], hashMap[i*n+j]); } if(i + 1 < m && hashMap.count((i+1)*n+j)){ ds.unionTwo(hashMap[(i+1)*n+j], hashMap[i*n+j]); } if(j - 1 >= 0 && hashMap.count(i*n+j-1)){ ds.unionTwo(hashMap[i*n+j-1], hashMap[i*n+j]); } if(j + 1 < n && hashMap.count(i*n+j+1)){ ds.unionTwo(hashMap[i*n+j+1], hashMap[i*n+j]); } } } } return ds.getCount(); }}; |
参考资料：