均值各态历经的例题

均值各态历经的例题

• 例1

例1

设$X_t=Acoswt+Bsinwt,-\infty<t<+\infty A,B$独立且都服从$N(0,\delta^2)$的随机变量，$w$为常数，讨论$X=\{X_t,-\infty<t<+\infty\}$的各态历经性
解：显然，$m_x(t)=0$ $R_X(s,t)=E[(Acosws+Bsinws)(Acoswt+Bsinwt)]$ $=E[A^2coswscoswt+ABcoswssinwt+ABsinwscoswt+B^2sinwssinwt]$ $=\delta^2cos(t-s)$可以得到X为平稳过程，运用均值各态历经的判定定理可以得到：$lim_{T->\infty}\frac{1}{2T}\int_{-2T}^{+2T}(1-\frac{|\tau|}{2T})C_X(\tau)d\tau$ $=lim_{T->\infty}\frac{1}{2T}\int_{-2T}^{+2T}(1-\frac{|\tau|}{2T})\delta^2cosw\tau d\tau$ $=lim_{T->\infty}\frac{1}{T}\int_{0}^{+2T}(1-\frac{\tau}{2T})\delta^2cosw\tau d\tau$ $=lim_{T->\infty}\frac{1}{T}(\frac{\delta}{w}^2sinw\tau |_{0}^{2T}-\frac{\delta^2}{2T^2}\int_{0}^{2T}\tau cosw\tau d \tau)$ $=lim_{T->\infty}\frac{\delta^2}{Tw}sin2wT-\frac{\delta^2}{2T^2}\left[(\frac{\tau sinw\tau}{w})|_{0}^{2T}-\int_{0}^{2T}sinw\tau d\tau \right]$ $=lim_{T->\infty}\frac{\delta^2}{2T}(\frac{1-2cos2wT}{w^2T})=0$所以可以得到，$X$的均值是各态历经的
weiwandaixu

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