洛谷 P2158 [SDOI2008]仪仗队
题目描述
作为体育委员，C君负责这次运动会仪仗队的训练。仪仗队是由学生组成的N * N的方阵，为了保证队伍在行进中整齐划一，C君会跟在仪仗队的左后方，根据其视线所及的学生人数来判断队伍是否整齐(如下图)。
现在，C君希望你告诉他队伍整齐时能看到的学生人数。 输入格式
共一个数N
输出格式
共一个数，即C君应看到的学生人数。
输入输出样例
输入 #1复制
输出 #1复制
说明/提示
【数据规模和约定】
对于 100% 的数据，1 ≤ N ≤ 40000
题解：
一道欧拉函数的经典题。原题是POJ 3090 Visible Lattice Points
来看图说话：
观察这个图，我们首先发现，这个东西是关于直线\(y=x\)对称的。接下来我们观察遮挡，根据几何学中的相似知识（三角形相似），我们发现，如果有两个点的横纵坐标构成的两个三角形相似的话，那么那个较大的三角形（那个点）就会被挡住。
什么意思呢？我们发现，一个点可见的条件为：当且仅当\((x,y)\in N,x\not=y\)并且\(gcd(x,y)=1\)，即横纵坐标互质。
因为这个图像的大小已知，并且这个图像是关于\(y=x\)对称的，那么我们只需要考虑半边的图像有多少点，给它乘二加三（因为有\((1,0),(1,1),(0,1)\)）即可。
不需要双层循环进行枚举，只需要用一层循环枚举\(y\)，因为是关于\(y=x\)对称的，所以\(x\in [1,y)\)，那么，符合条件的\(x\)的数量就是\(y\)的欧拉函数\(\Phi (y)\)。
所以，答案为：
\[ \sum_{i=2}^{n-1}\Phi(i)\times 2+3 \]
为什么是到\(n-1\)而不是到\(n\)呢？因为原点的坐标是\((0,0)\)，而这个点不能被统计到答案中去（自己不能孤芳自赏），是从0计数的。
然后就简单了，一遍线筛筛选出欧拉函数数组，直接统计答案即可，复杂度是\(O(n)\)的。
关于欧拉函数的知识点，如有不太清楚的，敬请移步到本蒟蒻的这篇博客：
代码：
#include<cstdio> using namespace std; const int maxn=40010; int phi[maxn],v[maxn],prime[maxn]; int n,cnt,ans; void euler(int n) { cnt=0; for(int i=2;i<=n;i++) { if(!v[i]) prime[++cnt]=i,phi[i]=i-1; for(int j=1;j<=n && i*prime[j]<=n;j++) { v[i*prime[j]]=1; if(i%prime[j]==0) { phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j]; break; } else phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]]; } } } int main() { scanf("%d",&n); if(n==1) { printf("0"); return 0; } euler(n); for(int i=2;i<n;i++) ans+=phi[i]; printf("%d",ans*2+3); return 0; }