状态方程

1.背景： 1.1 什么是背包问题：背包问题指这样一类问题，题意往往可以抽象成：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。（来自百度百科） 1.2 背包问题的种类：就ACM或者其它算法竞赛而言，背包问题可以分为8种类型，其中最基础的是0/1背包问题。作为动态规划的典型问题，其状态转移方程往往需要认真理解并能自行推出。这八种问题分别为：0/1背包问题、完全背包问题、多重背包问题、混合三种背包问题、二维费用背包问题、分组背包问题、有依赖的背包问题、求背包问题的方案总数。 2.0/1背包问题 2.1 问题描述：有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用（即体积，下同）是w[i]，价值是val[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。 2.2 解题思路：用动态规划的思路，阶段就是“物品的件数”，状态就是“背包剩下的容量”，那么很显然f [ i , v ] 就设为从前 i 件物品中选择放入容量为 v 的背包最大的价值。那么状态转移方程为： f[i][v]=max{ f[i-1][v],f[i-1][v-w[i]]+val[i] }。 这个方程可以如下解释：只考虑子问题“将前 i 个物品放入容量为 v 的背包中的最大价值”那么考虑如果不放入 i ，最大价值就和 i 无关，就是 f[ i

作者：labuladong 链接：https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock/solution/yi-ge-fang-fa-tuan-mie-6-dao-gu-piao-wen-ti-by-l-3/ 来源：力扣（LeetCode） 著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。 这 6 道股票买卖问题是有共性的，我们通过对第四题（限制最大交易次数为 k）的分析一道一道解决。因为第四题是一个最泛化的形式，其他的问题都是这个形式的简化。 第一题是只进行一次交易，相当于 k = 1；第二题是不限交易次数，相当于 k = +infinity（正无穷）；第三题是只进行 2 次交易，相当于 k = 2；剩下两道也是不限次数，但是加了交易「冷冻期」和「手续费」的额外条件，其实就是第二题的变种，都很容易处理。 一、穷举框架 首先，还是一样的思路：如何穷举？这里的穷举思路和上篇文章递归的思想不太一样。 递归其实是符合我们思考的逻辑的，一步步推进，遇到无法解决的就丢给递归，一不小心就做出来了，可读性还很好。缺点就是一旦出错，你也不容易找到错误出现的原因。比如上篇文章的递归解法，肯定还有计算冗余，但确实不容易找到。 而这里，我们不用递归思想进行穷举，而是利用「状态」进行穷举。我们具体到每一天

导言 动态规划问题一直是算法面试当中的重点和难点，并且动态规划这种通过空间换取时间的算法思想在实际的工作中也会被频繁用到，这篇文章的目的主要是解释清楚 什么是动态规划 ，还有就是面对一道动态规划问题，一般的 思考步骤 以及其中的注意事项等等，最后通过几道题目将理论和实践结合。 什么是动态规划 如果你还没有听说过动态规划，或者仅仅只有耳闻，或许你可以看看 Quora 上面的这个 回答 。 用一句话解释动态规划就是 “ 记住你之前做过的事 ”，如果更准确些，其实是 “ 记住你之前得到的答案 ”。 我举个大家工作中经常遇到的例子。 在软件开发中，大家经常会遇到一些系统配置的问题，配置不对，系统就会报错，这个时候一般都会去 Google 或者是查阅相关的文档，花了一定的时间将配置修改好。 过了一段时间，去到另一个系统，遇到类似的问题，这个时候已经记不清之前修改过的配置文件长什么样，这个时候有两种方案，一种方案还是去 Google 或者查阅文档，另一种方案是借鉴之前修改过的配置，第一种做法其实是万金油，因为你遇到的任何问题其实都可以去 Google，去查阅相关文件找答案，但是这会花费一定的时间，相比之下，第二种方案肯定会更加地节约时间，但是这个方案是有条件的，条件如下： 之前的问题和当前的问题有着关联性，换句话说，之前问题得到的答案可以帮助解决当前问题 需要记录之前问题的答案

一、实验目的 　　1. 掌握各数学模型之间的转换与数学模型的参数获取，掌握相关 MATLAB 命令 　　2. 掌握欧拉法和 RK 法的递推公式 　　3. 掌握欧拉法和 RK 法的 MATLAB 算法实现 二、实验内容 　　1. 分别用欧拉法和四阶龙格 - 库塔法求解如下系统： 　　（1） R=4K Ω ， C=1 µ F ， L=1H ， 仿真时间： 0.03s 　　（2） R=280 Ω ， C=8 µ F ， L=2H ，仿真时间： 0.1s 　　 　　 两组参数下电路的单位阶跃响应。 （初始条件均为零）。 　　 2. 熟悉并理解掌握 MATLAB 模型转换以及参数提 取指令（针对上述系统写出它们的运行结果） 　　G=tf(num,den)　　　　G1=tf(G) 　　G=zpk(z,p,k)　　　 　G1=zpk(G) 　　G=ss(A,B,C,D)　　　　G3=ss(G) 　　[num,den]=tfdata(G) 　　[Z,P,K]=zpkdata(G) 　　[A,B,C,D]=ssdata(G) 三、实验要求 　　1. 预习和完成实验内容 　　2. 完成实验报告，内容至少包括：理论分析，实验程序，程序运行结果以及结果 分析。 四、实验内容 　　1.建模 　　列方程： 　　 　　 状态空间表达式（时域）： 　　 　　 写成矩阵形式： 　　 　　 拉氏变换后得传递函数（复域

以上涉及的各种背包问题都是要求在背包容量（费用）的限制下求可以取到的最大价值，但背包问题还有很多种灵活的问法，在这里值得提一下。但是我认为，只要深入理解了求背包问题最大价值的方法，即使问法变化了，也是不难想出算法的。 例如，求解最多可以放多少件物品或者最多可以装满多少背包的空间。这都可以根据具体问题利用前面的方程求出所有状态的值（f数组）之后得到。 还有，如果要求的是“总价值最小”“总件数最小”，只需简单的将上面的状态转移方程中的max改成min即可。 下面说一些变化更大的问法。 输出方案 一般而言，背包问题是要求一个最优值，如果要求输出这个最优值的方案，可以参照一般动态规划问题输出方案的方法：记录下每个状态的最优值是由状态转移方程的哪一项推出来的，换句话说，记录下它是由哪一个策略推出来的。便可根据这条策略找到上一个状态，从上一个状态接着向前推即可。 还是以01背包为例，方程为 f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]} 。再用一个数组g[i][v]，设g[i][v]=0表示推出f[i][v]的值时是采用了方程的前一项（也即f[i][v]=f[i-1][v]），g[i][v]表示采用了方程的后一项。注意这两项分别表示了两种策略：未选第i个物品及选了第i个物品。那么输出方案的伪代码可以这样写（设最终状态为f[N][V]）： 另外

背包九讲 前言 本篇文章是我(dd_engi)正在进行中的一个雄心勃勃的写作计划的一部分，这个计划的内容是写作一份较为完善的NOIP难度的动态规划总结，名为《解动态规划题的基本思考方式》。现在你看到的是这个写作计划最先发布的一部分。 背包问题是一个经典的动态规划模型。它既简单形象容易理解，又在某种程度上能够揭示动态规划的本质，故不少教材都把它作为动态规划部分的第一道例题，我也将它放在我的写作计划的第一部分。 读本文最重要的是思考。因为我的语言和写作方式向来不以易于理解为长，思路也偶有跳跃的地方，后面更有需要大量思考才能理解的比较抽象的内容。更重要的是：不大量思考，绝对不可能学好动态规划这一信息学奥赛中最精致的部分。 Ŀ¼ 第一讲 01背包问题 这是最基本的背包问题，每个物品最多只能放一次。 第二讲 完全背包问题 第二个基本的背包问题模型，每种物品可以放无限多次。 第三讲 多重背包问题 每种物品有一个固定的次数上限。 第四讲 混合三种背包问题 将前面三种简单的问题叠加成较复杂的问题。 第五讲 二维费用的背包问题 一个简单的常见扩展。 第六讲 分组的背包问题 一种题目类型，也是一个有用的模型。后两节的基础。 第七讲 有依赖的背包问题 另一种给物品的选取加上限制的方法。 第八讲 泛化物品 我自己关于背包问题的思考成果，有一点抽象。 第九讲 背包问题问法的变化 试图触类旁通、举一反三。 附

动态规划思想 通过状态转移方程将大问题分解为小问题，找到小问题的最优解，然后基于此小问题的最优状态获得另一问题的最优解。具体做法是将各个小问题的最优解存入数组中，然后基于其来获取当前问题的最优解。 在应用中就是找规律，将此规律用状态转移方程来表示。 以下通过例题来学习此算法！！！ 题目一： 有1,3,5三种面值的硬币，找到总值为16元的最少硬币数量？ 获得d(0)、d(1)、d(2)小问题的最优解 d(0) = 0 d(2) = d(2-1)+1 = d(1)+1 = 1+1 = 2 d(3) = d(3-3)+1 = d(0)+1 = 1 d(3) = d(3-1)+1 = d(2)+1 = 3 d(4) = d(4-3)+1 = d(1)+1 = 2 状态转移方程： d(x) = min( d(x-v)+1 ) #include <iostream> #include <vector> #include <algorithm> using namespace std; int main() { //面值 int v[3] = { 1,3,5 }; //索引为总值，元素为硬币数量 vector<int> arr1; arr1.push_back(0); for (int i = 1; i <= 16; i++) { //所有面值对应的硬币数量 vector<int> arr2;

一个算法并不是能适用于任何场景，在使用线性卡尔曼滤波器前，它有两个假设限定了它的应用场景，即： 系统是线性的 系统和测量噪声是高斯白噪声 什么是高斯白噪声？即噪声满足正态分布，表述如下： 高斯白噪声在时间尺度上是互不相关的，即上一时刻的噪声状态并不能决定下一时刻的噪声状态； 噪声在所有频率上具有相等的功率，即功率谱密度服从均匀分布； 4. 分析过程 4.1 基本方程 先直接扔出卡尔曼滤波的经典5个方程（来自于参考文献）： 预测（估计）状态方程 更新方程 以上5个方程以矩阵运算形式代表了线性卡尔曼滤波算法的一般形式（不同文献的数学表达方式略有不同）。第一眼看到这几个方程里面的F、K、H之类的变量以及符号肯定是蒙圈的，即使了解了符号代表的意义，在实际过程中怎么使用可能也不是很清楚。 ### 4.2 方程的解释 【注：此节不会完整的再验算一次推导过程，因为篇幅有限，我只能根据我的理解，解释捋清推导过程的一个基本脉络，并解释参考文献中稍微有点绕的地方】 上述算法的一般方程来自于参考文献3，文中以获取机器人的位置和速度这两个变量为例，推导出了（二维）矩阵形式的一般方程，所以结合案例，总结一下方程中各变量符合所代表的意义。 #### 4.2.1 预测（估计）状态方程 【注：以下表述中“预测”和“估计”表示一个意思】 预测状态方程是依据被测对象的数据模型建立的，如例子中所示

一.前言 　　周末果然是堕落的根源，原谅我两天没刷题(PS:主要是因为周末搬家去了)。上次在这个题的时候，看到网上很多方法都是用动态规划做的，但是本渣渣实在不知道动态规划具体是怎样的，于是就专门花了花时间去研究了一下。肯定没这么快弄懂，只能说是稍微入门，于是写下这篇文章，帮助自己也帮助别人理解动态规划。 二.理论部分 　　动态规划是什么呢? 百度百科上的定义是：动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支，是求解决策过程(decision process)最优化的数学方法。用通俗的话来讲，动态规划是针对与 某一类问题 的解决方法。只要我们弄清楚了某一类问题是什么，那我们就知道什么是动态规划。 　　首先，我们举一个简单的例子，也是dp的入门经典问题：如果我们有面值为1元、5元和11元的纸币若干枚，如何用最少的纸币凑够12元？ 　　按照人类的正常思维来说，首先我们会尽可能的使用大面值的纸币，所以会得出 12 = 11 x 1 + 1 x 1，最少使用两张纸币。这样一看好像这种方法没什么问题，可是当我们把问题换成凑够15元时，继续按照上面这种思路，我们会得到 15 = 11 x 1 + 1 x 4，也就是说，按照惯性思路，我们会认为最少需要五张纸币才能凑齐15元。但是我们可以轻易的看出，15 = 5 x 3，最少只需要三张纸币就能够凑齐15元

[算法总结] 动态规划 本文组织结构如下： 前言 最长公共子序列（LCS） 最长不下降子序列（LIS） 最大连续子序列之和 最长回文子串 数塔问题 背包问题（Knapsack-Problem） 矩阵链相乘 总结 前言 在学过的算法当中，DP给我的感觉是最难的了。借着本次写blog好好复习一下这个算法。 众所周知，DP算法的关键点： 抽象出问题的状态表示 定义状态转移方程 填表顺序 最长公共子序列 最长公共子序列（Longest Common Subsequence,LCS），顾名思义，是指在所有的子序列中最长的那一个，子序列要求都出现过并且出现顺序与母串保持一致。 例如，给定字符串 a 和 b : string a = "cnblog" string b = "belong"; blog 都出现过，且字母顺序一致，那就一个公共子序列（在这里也是最长的公共子序列）。 状态定义： dp[i, j] 表示 a[0,...,i] 与 b[0,...j] 的最长公共子序列的长度 那么现在的目的就是求出： dp[alen, blen] 状态转移方程： = 0 if i=0 or j=0 dp[i,j] = dp[i-1,j-1]+1 if a[i]=b[j] = max(dp[i-1,j], dp[i, j-1]) if a[i]!=b[j] 观察可知，每一个 dp[i,j] 都是依赖于