拓扑排序

一、图的概念 图的定义 1、图 在树形结构中，结点间具有层次关系，每一层结点只能和上一层中的至多一个结点相关， 但可能和下一层的多个结点相关。而在图结构中，任意两个结点之间都可能相关，即结点之 间的邻接关系可以是任意的 图G: 是由集合V和E组成，记成G=(V,E)； V 是顶点集(非空)；E 是边集 （可空）;边是顶点的有序对或无序对;（边反映了两顶点之间的关系） 2、有向图 ： 边是顶点的有序对的图（图中每条边都用箭头指明了方向）一个具有 n 个顶点的 有向完全图的弧 数为 n(n-1) 3、无向图 ： 边是顶点的无序对的图。一个具有 n 个顶点的 无向完全图的边 数为 n(n-1)/2 。 4、权、带权图： 图的边附带数值，这个数值叫权。权在实际应用中可表示从一个顶点到另一个顶点的 距离、代价或耗费等。每条边都带权的图称为带权图。 5、顶点的度、入度、出度 无向图中 顶点 v 的度是与该顶点相关联的边的数目，记为 D(v)。 如果 G 是一个有向图 ，则把以顶点 v 为终点的弧的数目称为 v 的入度，记为 ID(v)； 把以顶点 v 为始点的弧的数目称为 v 的出度，记为 OD(v)。 有向图中顶点 v 的度等于入度与出度的和，即 D(v)=ID(v)+OD(v)。 6、子图： 设 G=(V，E)是一个图，若 E'是 E 的子集，V'是 V 的子集，并且 E'中的边仅与 V

摘自百度： 对一个有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG)G进行拓扑排序，是将G中所有顶点排成一个线性序列，使得图中任意一对顶点u和v，若 ∈E(G)，则u在线性序列中出现在v之前。 方法： 拓扑排序 方法如下: (1)从 有向图 中选择一个没有前驱(即 入度 为0)的顶点并且输出它. (2)从网中删去该顶点,并且删去从该顶点发出的全部有向边. (3)重复上述两步,直到剩余的网中不再存在没有前趋的顶点为止. 例子：poj1094 解法： 摘自http://www.cnblogs.com/pushing-my-way/archive/2012/08/23/2652033.html 题意：给你一些大写字母间的偏序关系，然后让你判断能否唯一确定它们之间的关系，或者所给关系是矛盾的，或者到最后也不能确定它们之间的关系。 分析： 用拓扑排序： 1.拓扑排序可以用栈来实现，每次入栈的是入度为0的节点。 1.拓扑排序的结果一般分为三种情况：1、可以判断 2、有环出现了矛盾 3、条件不足，不能判断. 2.这道题不仅需要判断这三种情况，而且还要判断在处理第几个关系时出现前两种情况，对于本道题来说三种情况是有优先级的。前两种情况是平等的谁先出现先输出谁的相应结果，对于第三种情况是在前两种情况下都没有的前提下输出相应结果的. 网上对于这道题的错误提示： 1.本题顺序： a

拓扑排序看起来很难，其实了解后不算难（思想非常清楚） 关键掌握思想后需要学会应用到具体的题目中去。（从入度为0到出度为0） 1、拓扑排序的介绍 对一个有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG)G进行拓扑排序，是将G中所有顶点排成一个线性序列，使得图中任意一对顶点u和v，若边(u,v)∈E(G)，则u在线性序列中出现在v之前。 拓扑排序对应施工的流程图具有特别重要的作用，它可以决定哪些子工程必须要先执行，哪些子工程要在某些工程执行后才可以执行。为了形象地反映出整个工程中各个子工程(活动)之间的先后关系，可用一个有向图来表示，图中的顶点代表活动(子工程)，图中的有向边代表活动的先后关系，即有向边的起点的活动是终点活动的前序活动，只有当起点活动完成之后，其终点活动才能进行。通常，我们把这种顶点表示活动、边表示活动间先后关系的有向图称做顶点活动网(Activity On Vertex network)，简称AOV网。 一个AOV网应该是一个有向无环图，即不应该带有回路，因为若带有回路，则回路上的所有活动都无法进行（对于数据流来说就是死循环）。在AOV网中，若不存在回路，则所有活动可排列成一个线性序列，使得每个活动的所有前驱活动都排在该活动的前面，我们把此序列叫做拓扑序列(Topological order)，由AOV网构造拓扑序列的过程叫做拓扑排序

题目背景 你知道食物链吗？Delia 生物考试的时候，数食物链条数的题目全都错了，因为她总是重复数了几条或漏掉了几条。于是她来就来求助你，然而你也不会啊！写一个程序来帮帮她吧。 题目描述 给你一个食物网，你要求出这个食物网中最大食物链的数量。 （这里的“最大食物链”，指的是 生物学意义上的食物链 ，即 最左端是不会捕食其他生物的生产者，最右端是不会被其他生物捕食的消费者） 输入格式 第一行，两个正数n、m，表示生物种类n和吃与被吃的关系数m。 接下来m行，每行两个正数，表示被吃的生物A和吃A的生物B。 输出格式 一行一个整数，为最大食物链数量模上80112002的结果。 输入输出样例 输入 #1 5 7 1 2 1 3 2 3 3 5 2 5 4 5 3 4 输出 #1 5 说明/提示 各测试点满足以下约定： 【补充说明】 数据中不会出现环，满足生物学的要求。 时间限制1s，结果模上80112002. 思路： 　　 此题所找的是总食物链的长度，实际上翻译过来就是找到所有入度为0对应出度为0的链的长度，这一思想恰好满足拓扑排序的性质（具体拓扑排序见另一篇帖子）。因此此处首先采用邻接矩阵+拓扑排序的方法去实现（别用dfs效率太低，基本的不剪枝的只过两个测试点） 实现代码（邻接矩阵）： 1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3

题目链接： http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1285 题目给出一些点对之间的先后顺序，要求给出一个字典序最小的拓扑排列。对于拓扑排序的问题，我们有DFS和BFS都能够解决，但是问题是DFS只能处理上一层结点和下一层结点相对于根节点之间的距离，也就是说深度就是他们之间的先后顺序，对于同一层的，是没有先后顺序的，但是BFS可以处理同一层之间的先后关系，所以我们考虑用BFS进行遍历，并且将原始BFS求拓扑排序中的队列变成优先队列。这样我们就能在每一层中优先选择字典序小的结点先输出。 代码如下： 1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 typedef unsigned int ui; 4 typedef long long ll; 5 typedef unsigned long long ull; 6 #define pf printf 7 #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a)) 8 #define prime1 1e9+7 9 #define prime2 1e9+9 10 #define pi 3.14159265 11 #define lson l,mid,rt<<1 12 #define rson mid+1,r,rt<<1|1

有时对于一个有向图我们及其渴望将其变为一个有向无环图，这样我们就要用到强连通分量缩点了。 例题 洛谷3387 缩点 题目背景 缩点+DP。 题目描述 给定一个 n个点 m条边有向图，每个点有一个权值，求一条路径，使路径经过的点权值之和最大。你只需要求出这个权值和。 允许多次经过一条边或者一个点，但是，重复经过的点，权值只计算一次。 输入格式 第一行两个正整数n，m。 第二行n个整数，依次代表点权。 第三至(m + 2)行，每行两个整数u，v，表示一条u -> v的有向边。 输出格式 共一行，最大的点权之和。 输入输出样例 输入 2 2 1 1 1 2 2 1 输出 2 说明/提示 对于 100%的数据，1 <= n <= 10^4，1 <= m <= 10^5，0 <= 点权 <= 10^3。 强连通分量缩点 对于一道图论题，有时我们会发现如果说这是一个有向无环图会很好解决，但题目中却并没有说无环，这时我们希望将这个有向图变成一个有向无环图，这就要用到强连通分量缩点了。 在一个强连通分量中，我们知道任意两个点可以互相到达，那么其实我们就可以利用这个特点去对其进行缩点，将原图变成一个有向无环图。 在做tarjan算法时，我们已经对每个点进行了染色，所以这样缩点就很简单了，如果一条边起点u和终点v的颜色不一样，就以u的颜色color[u]为起点、v的颜色color[v]为终点建一条边。

题意：给你一些大写字母间的偏序关系，然后让你判断能否唯一确定它们之间的关系，或者所给关系是矛盾的，或者到最后也不能确定它们之间的关系。 分析： 用拓扑排序： 1.拓扑排序可以用栈来实现，每次入栈的是入度为0的节点。 1.拓扑排序的结果一般分为三种情况：1、可以判断 2、有环出现了矛盾 3、条件不足，不能判断. 2.这道题不仅需要判断这三种情况，而且还要判断在处理第几个关系时出现前两种情况，对于本道题来说三种情况是有优先级的。前两种情况是平等的谁先出现先输出谁的相应结果，对于第三种情况是在前两种情况下都没有的前提下输出相应结果的. 网上对于这道题的错误提示： 1.本题顺序： a.先判有没有环，有环就直接输出不能确定； b.如果没有环，那么就看会不会有多种情况，如果有多种情况就再读下一行；如果全部行读完还是有多种情况，就是确定不了； c.如果最后没有环，也不存在多种情况（即每次取出来入度为零的点只有一个），那么才是答案； 2.有答案就先出答案，不管后面的会不会矛盾什么的； 3.如果在没有读完所有输入就能出答案，一定要把剩下的行都读完。 代码 #include <iostream> #include <cstdio> #include <string.h> #include <stack> using namespace std; const int MAX=27; int graph

逃生 题目连接： http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4857 Description 糟糕的事情发生啦，现在大家都忙着逃命。但是逃命的通道很窄，大家只能排成一行。 现在有n个人，从1标号到n。同时有一些奇怪的约束条件，每个都形如：a必须在b之前。 同时，社会是不平等的，这些人有的穷有的富。1号最富，2号第二富，以此类推。有钱人就贿赂负责人，所以他们有一些好处。 负责人现在可以安排大家排队的顺序，由于收了好处，所以他要让1号尽量靠前，如果此时还有多种情况，就再让2号尽量靠前，如果还有多种情况，就让3号尽量靠前，以此类推。 那么你就要安排大家的顺序。我们保证一定有解。 Input 第一行一个整数T(1 <= T <= 5),表示测试数据的个数。 然后对于每个测试数据，第一行有两个整数n(1 <= n <= 30000)和m(1 <= m <= 100000)，分别表示人数和约束的个数。 然后m行，每行两个整数a和b，表示有一个约束a号必须在b号之前。a和b必然不同。 Output 对每个测试数据，输出一行排队的顺序，用空格隔开。 Sample Input 1 5 10 3 5 1 4 2 5 1 2 3 4 1 4 2 3 1 5 3 5 1 2 Sample Output 1 2 3 4 5 Hint 题意 题解： 反着做

　　最近在做实际项目中遇到了一个问题，如何判断一个层级结构的图是否存在循环引用。刚开始想到了方法是用递归进行判断，后来想到大学学过的拓扑排序可以解决该问题，于是翻了下数据结构这本书，阅读了园友的文章，根据自己的理解写下了这篇随笔。 阅读目录 拓扑排序介绍 问题引入及算法实现 本章总结 回到顶部 拓扑排序介绍 　　百度百科定义： 　　对一个 有向无环图 (Directed Acyclic Graph简称DAG)G进行拓扑排序，是将G中所有顶点排成一个线性序列，使得图中任意一对顶点u和v，若边(u,v)∈E(G)，则u在线性序列中出现在v之前。通常，这样的线性序列称为满足拓扑次序(Topological Order)的序列，简称拓扑序列。简单的说，由某个集合上的一个 偏序 得到该集合上的一个 全序 ，这个操作称之为拓扑排序。 　　上面的定义看完可能不知道是什么意思，举两个实际的例子就明白了。 1.大学课程排序 　　 大学课程的学习是有先后顺序的，C语言是基础，数据结构依赖于C语言，其它课程也有类似依赖关系。这样的一个课程安排是怎么实现的呢？ 　　2.VS项目编译顺序 假设VS中有三个项目A,B，C，它们的关系如下图。VS编译器是如何判断三个项目的编译顺序的呢？ 回到顶部 问题引入及算法实现 　　这次实际项目中碰到的问题可以归纳为控件联动选择，即常见的省份，城市，地区联动

拓扑排序是针对有向无环图的，当然也可以用它来检测到底有没有环，数据结构中学过其构成原理，这里就不再赘述，主要来讲他的实现。 分析原理，其实他的过程有点类似于层次遍历，所以用队列存储入度为0的点是OK的，但其实只要每次入队的结点入度为0，也没有顺序要求，栈也行，这里我为了避免每次比较麻烦，直接用优先队列实现。 # include <iostream> # include <vector> # include <queue> # include <algorithm> using namespace std ; int G [ 51 ] [ 51 ] ; int indegree [ 51 ] = { 0 } ; int num [ 51 ] ; //存储拓扑排序顺序 struct cmp { bool operator ( ) ( const int a , const int b ) const { return indegree [ a ] > indegree [ b ] ; } } ; bool topologicalsort ( int n ) { priority_queue < int , vector < int > , cmp > q ; //优先队列存储入度下标，按从小到大排序 for ( int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) //全部入队 q