牛顿

（作者建议您在 这里 下载本文pdf版获得更清晰的阅读方式）。 逆动力学问题是指：已知某一时刻机器人各关节的位置 ，关节速度 及关节加速度 ，求此时施加在机器人各杆件上的驱动力（力矩） 。 逆动力学问题在机器人控制与计算机动画领域都有广泛的应用。例如当给出期望的机器人运动状态时，我们可以通过逆动力学解算来分析其力矩是否可以由作动系统实现。在计算机动画领域，可以利用优化算法求解力矩消耗最小的动画过程（如文献[1]）来得到一个自然的动画。另外，逆动力学也常作为正动力学的一个子部分来求解正动力学（正动力学指已知力和力矩，求系统状态）。 逆动力学可以利用牛顿欧拉(Newton-Euler)方程来求解，也可以利用拉格朗日(Lagrange)方程来求解（二者的等价性与区别读者可以参看文献[2]中的2.3节）。本文旨在讲解如何基于牛顿欧拉(Newton-Euler)方程来求解机器人逆动力学，其算法被称为“迭代牛顿欧拉算法(Recursive Newton-Euler Algorithm)”。 1. 预备知识 在介绍“迭代牛顿欧拉算法(Recursive Newton-Euler Algorithm)”之前，让我们先看一下什么是牛顿欧拉方程： 其中 表示线加速度， 表示角加速度（角速度的导数），等式左边的求和符号表示公式中应该使用合力与合力矩。关于如何得出牛顿欧拉方程，请参看我的前一篇文章：

预备知识 一、正定和半正定矩阵 半正定矩阵包括了正定矩阵 。 不定矩阵：特征值有正有负 半正定 矩阵： 所有特征值为 非负 。 半负定矩阵：所有特征值为非正。 二、牛顿法和拟牛顿法（二阶优化方法） 由于我主要是做NLP，机器学习方面基本功扎实后，更加偏机器学习的方法浅尝辄止即可， 面试的时候知道有这些东西即可。这里只提一提。 牛顿法（Newton method）和拟牛顿法（quasi Newton method）是 求解无约束最优化问题的常用方法 ，有收敛速度快的优点。 牛顿法是迭代算法，每一步都需求解目标函数的海塞矩阵 （Hessian Matrix），计算比较复杂。 拟牛顿法通过正定矩阵近似海塞矩阵的逆矩阵或海塞矩阵 ，简化了这一计算过程。 1 牛顿法 ： 2 拟牛顿法 ： 拟牛顿法主要常见有DFP法（逼近Hession的逆）、BFGS（直接逼近Hession矩阵）、 L-BFGS（可以减少BFGS所需的存储空间）。均是用不同的构造方法来近似海塞矩阵或其逆。 3 牛顿法和梯度下降法 ： 4 牛顿法和深度学习 ： 三、海塞矩阵 四、鞍点问题 高维非凸优化问题之所以困难，是因为 存在大量的鞍点而不是局部极值 。 神经网络优化问题中的 鞍点即一个维度向上倾斜且另一维度向下倾斜的点 。 鞍点和局部极值的区别： 鞍点和局部极小值， 相同 的是，在该点处的 梯度都等于零 ， 不同在于

牛顿迭代法 一、何为牛顿迭代法 牛顿迭代法又称为牛顿-拉弗森方法，是牛顿在17世纪提出的一种在实数和复数域上近似求解方程的方法。 牛顿迭代法的操作简单来说就是通过不断取切线，然后通过切线再不断逼近相应的解，废话不多说，我们来看图。 例如如下曲线 \(y=x^2-1\) 我们在其上面任取一点，不妨取(2，3)，以该点做切线，切线方程为 \(y=4x-5\) ，在图中将该切线加上可如下图： 来源： https://www.cnblogs.com/southernEast/p/12422623.html

牛顿法(Newton method)和拟牛顿法(quasi-Newton method)也是求解无约束最优化的常用方法，有收敛速度快的优点。牛顿法是迭代算法，每一步需要求解目标函数的黑塞矩阵的逆矩阵，计算比较复杂。拟牛顿法通过正定矩阵近似黑塞矩阵的逆矩阵或黑塞矩阵，简化了这一计算过程。 牛顿法 考虑无约束最优化问题 min ⁡ x ∈ R n f ( x ) (B.1) \min_{x\in R^n}f(x)\tag{B.1} x ∈ R n min ​ f ( x ) ( B . 1 ) 其中 x ∗ x^* x ∗ 为目标函数的极小值。 ​ 假设f(x)具有二阶连续偏导数，若第k次迭代值为 x ( k ) x^{(k)} x ( k ) ,则可将f(x)在 x ( k ) x^{(k)} x ( k ) 附近进行二阶泰勒展开： f ( x ) = f ( x ( k ) ) + g k T ( x − x ( k ) ) + 1 2 ( x − x ( k ) ) T H ( x ( k ) ) ( x − x ( k ) ) (B.2) f(x)=f(x^{(k)})+g^T_k(x-x^{(k)})+\frac{1}{2}(x-x^{(k)})^TH(x^{(k)})(x-x^{(k)}) \tag{B.2} f ( x ) = f ( x ( k ) ) + g k T

万有引力定律已经存在牛顿脑海里很久了 1665 年，英国伦敦大瘟疫 当时牛顿正在剑桥就读 买不到口罩的他 被迫回家进行自我隔离 他亲戚不走，聚会也不参加 但就是这段时间 让他有机会思考如下的问题： 是什么力量 使得行星围绕着太阳运转？ 又是什么力量 让这些星体不互相碰撞？ 苹果为什么会落到地上 而不是天上？ 带着这些问题 牛顿进入了冥思苦想…… 后来他终于创立了万有引力定律！ 看看当今吧 多数学科理论已经近百年毫无进展…… 而且近十四亿人都在家里自我隔离 也许你该出现了！ 面对病毒 相信一切都会好起来 不恐慌，不传谣，不造谣 相信你也会如牛顿一样横空出世！ （近：好多高智商医生天使、后勤人员、政府领导还奋战在一线） 艾萨克·牛顿，英国皇家学会会长，英国著名的物理学家、数学家、天文学家和自然哲学家！高等数学的奠基人，万有引力的发现者，经典力学的开创者。 他的研究涉及物理、化学、天文、地理、哲学、经济和艺术，所学包括飞机制造、船舶设计、火箭导弹、现代建筑等众多领域，是迄今为止人类历史上绝无仅有的 百科全书 式天才。著有《 自然哲学的数学原理 》（现常简称作《原理》）、《 光学 》。伟大的法国科学家拉普拉斯写到：“《原理》是人类智慧的产物中最卓越的杰作。” 牛顿被誉为人类历史上最伟大的科学家之一。他的万有引力定律在人类历史上第一次把天上的运动和地上的运动统一起来

介绍牛顿法和拟牛顿法 数值分析 牛顿法 牛顿法是解方程 f ( x ) = 0 f(x)=0 f ( x ) = 0 的一种方法，取根附近的一点 x 0 x_0 x 0 ​ 做为初值，反复迭代得到最终近似解。迭代方法如下： 首先将 f ( x ) f(x) f ( x ) 泰勒展开 f ( x ) ≈ f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) f(x)\approx f(x_0)+f^{'}(x_0)(x-x_0) f ( x ) ≈ f ( x 0 ​ ) + f ′ ( x 0 ​ ) ( x − x 0 ​ ) 于是方程可以近似表示为 x ≈ x 0 − f ( x 0 ) f ′ ( x 0 ) x \approx x_0-\frac{f(x_0)}{f^{'}(x_0)} x ≈ x 0 ​ − f ′ ( x 0 ​ ) f ( x 0 ​ ) ​ 将此f(x)比f(x_0)更接近0（严格上需要数学证明收敛性，这里略） 得到递推公式： x k + 1 = x k − f ( x k ) f ′ ( x k ) x_{k+1} =x_k-\frac{f(x_k)}{f^{'}(x_k)} x k + 1 ​ = x k ​ − f ′ ( x k ​ ) f ( x k ​ ) ​ 下面用一个例子加深理解： 解方程： x e x − 1 =

牛顿法（英语：Newton's method）又称为牛顿-拉弗森方法（英语：Newton-Raphson method），它是一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x)=0的根。 一般情况对于f(x)是一元二次的情况直接应用求根公式就可以了，但是对于更高次（在5次方以上），没有求根公式，于是牛顿想了个近似求解的办法——牛顿法 首先以一元函数为例来说明牛顿法的具体过程 假设我们要求解函数f(x)=0的根，我们首先把函数在 处展开成泰勒级数的形式并取其线性部分： 令g(x)=0，则 g(x)=0的根与f(x)=0的根近似相等，所以我们可以将此次计算看做一次迭代的过程，即： 看下面的定理： 设f(x)在[a,b]满足 (1) f(a)·f(b)<0 (2) f(x)∈[a,b]，f′(x),f″(x)均存在，且f′(x)与f″( x)的符号均保持不变。 (3) f(x)·f″(x)>0, x∈[a,b] 则方程f(x)=0在[a,b]上有且只有一个实根，由牛顿法迭代公式计算得到的近似解序列收敛于方程 f(x)=0 的根 x*。 通俗的说，如果f(x)及其一阶、二阶导是连续的，并且待求的零点是孤立的，那么在零点周围存在一个区域，只要初始值位于这个邻近区域内，那么牛顿法必定收敛。 下面动图形象演示了牛顿法收敛过程

1.过n个有标志顶点的树的数目等于n n-2 .（Cayley定理） 2.在n个不同元素中取r个作允许重复的组合，其组合数为C(n+r-1,r). 3.从A={1,2,…,n}中取r个作不相邻的组合，其组合数为C(n-r+1,r). 4.线性方程x 1 +x 2 +…+x n =b的非负整数解的个数是(n+b-1,b). 5.C(m+n,m)=C(m+n,n)=C(n,r)=C(n,n-r). 6.C(n,r)=C(n-1,r)+C(n-1,r-1)（杨辉三角、Pascal 三角） 牛顿二项式定理： 7.C(n+r+1,r)=C(n+r,r)+C(n+r-1,r-1)+C(n+r-2,r-2)+…+C(n+1,1),C(n,0). 8.C(n,l)*C(l,r)=C(n,r)*(n-r,l-r). 9..C(m,0)+C(m,1)+C(m,2)+…+C(m,m)=2 m . 10.C(n,0)-C(n,1)+C(n,2)+…±C(n,n)=0（由牛顿二项式定理代入可证） 11.C(m+n,r)=C(m,0)*C(n,r)+C(m,1)*C(n,r-1)+…+C(m,r)*C(n,0),r<=min(m,n). 12.（由上式可得）若m<=n,则有C(m+n,m)=C(m,m)*C(n,0)+C(m,m-1)*C(n,1)+…+C(m,0)*C(n,m)=C(m,0)*C(n,0)

数值最优化笔记——牛顿法例题详解 BY 大鱼海棠1024 来源： CSDN 作者： 大鱼海棠1024 链接： https://blog.csdn.net/yu_moumou/article/details/104076675

---恢复内容开始--- http://www.zhihu.com/question/19723347 引自知乎 牛顿法是二阶收敛，梯度下降是一阶收敛 ， 所以牛顿法就更快 。如果更通俗地说的话，比如你想找一条最短的路径走到一个盆地的最底部，梯度下降法每次只从你当前所处位置选一个坡度最大的方向走一步，牛顿法在选择方向时，不仅会考虑坡度是否够大，还会考虑你走了一步之后，坡度是否会变得更大。所以，可以说牛顿法比梯度下降法看得更远一点，能更快地走到最底部。 根据wiki上的解释，从几何上说，牛顿法就是用一个二次曲面去拟合你当前所处位置的局部曲面，而梯度下降法是用一个平面去拟合当前的局部曲面，通常情况下，二次曲面的拟合会比平面更好，所以牛顿法选择的下降路径会更符合真实的最优下降路径。 wiki上给的图很形象： &amp;amp;lt;img src="https://pic4.zhimg.com/365e99bcf8d2e1ef1986e09c795caef7_b.jpg" data-rawwidth="220" data-rawheight="253" class="content_image" width="220"&amp;amp;gt;红色的牛顿法的迭代路径，绿色的是梯度下降法的迭代路径。 红色的牛顿法的迭代路径，绿色的是梯度下降法的迭代路径。 作者：金秉文 链接：http:/