莫比乌斯

这两天的话没怎么做题，主要是在补知识点。数论三的题太难了，看了看实在是不会，就只能先从知识点开始补，数论三里面好多题都是莫比乌斯反演的题，就补了好久的莫比乌斯反演，现在对莫比乌斯反演的话也算是有了个基本的了解。还有一些题是关于莫队算法的，看了几篇博客还是有点懵这两天再多看几篇材料。最近还看了关于杜教筛的一些知识。博客上说杜教筛是以低于线性的时间复杂度来计算积性函数的前缀和的筛法，但是就杜教筛的应用的话，还不是很清楚。不在学校里了感觉也得要抓紧了，感觉时间真的不够了，还有很多东西都还没有掌握。 来源： CSDN 作者： 爱吃老谈酸菜的DV 链接： https://blog.csdn.net/weixin_43460224/article/details/104046022

一、莫比乌斯反演涉及知识 1.莫比乌斯函数 2.莫比乌斯的线性筛法 3.狄利克雷卷积 4.莫比乌斯反演详解 5.整除法分块 6.杜教筛 二、μ 莫比乌斯函数定义 μ ( n ) = { 1 n=1 ( − 1 ) k n= P1*P2*P3*...*Pk(其中P是质数) 0 else其他情况 μ(n)=\begin{cases} 1& \text{n=1}\\ (-1)^k& \text{n= P1*P2*P3*...*Pk(其中P是质数)}\\ 0& \text{else其他情况} \end{cases} μ ( n ) = ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ​ 1 ( − 1 ) k 0 ​ n=1 n= P1*P2*P3*...*Pk( 其中 P 是质数 ) else 其他情况 ​ 也就是说如果n有平方质因子的话就为0。 三、莫比乌斯线性筛 int prime [ MAXN ] , prime_tot ; bool isprime [ MAXN ] ; int mu [ MAXN ] ; void pre_calc ( int limt ) { mu [ 1 ] = 1 ; for ( int i = 2 ; i <= limt ; i ++ ) { if ( ! isprime [ i ] ) { prime [ prime_tot ] = i ; mu [ i ] = - 1 ; }

　　 今天上午再补题，计算几何，看了一下对于极角排序的四种方式：叉积，complex类，atan2()函数，象限四种。 　 再就是看了五道数学题，容斥，积分，欧拉函数，对了今天还有莫比乌斯反演没看。中午吃过饭就开始，打比赛了，题目是真的长，按照前几场的惯例1011是水题，结果半小时过去了，还是没有队伍提交，恐怖，大佬真的沉得住气，大概推了两个小时，终于推出来公式，A了之后，看了1008和1002但是都没有思路，1002心思打表，但是太大了，后来才知道是莫比乌斯反演，凡是这个我还没看，1008谁知道是水题.... 　　这几天的状态不错，每天的时间都能充分利用，并且知道该干嘛了。 来源： https://www.cnblogs.com/wuwangchuxin0924/p/7384609.html

数论函数 在数论上，算术函数（或称数论函数）指定义域为正整数、陪域为复数的函数，每个算术函数都可视为复数的序列。 最重要的算术函数是积性及加性函数。算术函数的最重要操作为狄利克雷卷积，对于算术函数集，以它为乘法，一般函数加法为加法，可以得到一个阿贝尔环。 ---百度百科 $ \mathbf{f}(x),x \in \mathbb{Z_+}, \mathbf{f}(x)\in C$ 就是定义域为正整数，值域是一个数集 定义数论函数运算： 两个数论函数相等，即他们的每一项都相等 加法： \((\mathbf{f}+\mathbf{g})(i) = \mathbf{f}(i)+\mathbf{g}(i)\) 数乘： \((x\mathbf{f})(i)=x\cdot \mathbf{f}(i)\) 狄利克雷卷积 狄利克雷乘积(Dirichlet product)亦称狄利克雷卷积、卷积，是数论函数的重要运算之一。设f(n)、g(n)是两个数论函数，它们的Dirichlet(狄利克雷)乘积也是一个数论函数，简记为h(n)=f(n)*g(n)。 ---百度百科 定义两个数论函数的狄利克雷卷积符号： \(\ast\) 令 \(\mathbf{t}=\mathbf{f}\ast \mathbf{g}\) 则 \(\mathbf{t}(n) = \sum\limits _{ij=n} \mathbf

莫比乌斯反演在数论中占有重要的地位，许多情况下能大大简化运算，特别是对于求解gcd的问题。 在学习莫比乌斯反演之前，我们先了解下积性函数。 积性函数 ： 定义 ：定义域为N+ 的函数 f，对于任意两个互质的正整数a, b: gcd(a, b) = 1，均满足f(ab) = f(a) ∗ f(b)，则函数f 被称为积性函数。假如对于任意两个正整数a, b 均有f(ab) = f(a) ∗ f(b)，则称f 为完全积性函数。 欧拉函数是积性函数，但不是完全积性函数。 积性函数的 性质 ： • f(1) = 1 • 考虑一个大于1 的正整数N，设N = ∏ pi ai ,其中 pi 为互不相同的质数，那么对于一个积性函数 f, f(N) = f( ∏ pi a i ) = ∏ f(pi a i ) , 如果f 还满足完全积性，则 f(N) = ∏ f(pi) ai 。 • 若 f(n), g(n) 均为积性函数，则函数h(n) = f(n)g(n) 也为积性函数。 • 若 f(n) 为积性函数，则函数F(n) = Σ d|n f(d) 也是积性函数，反之亦然。 莫比乌斯反演 定理 ： 和 是定义在非负整数集合上的两个函数，并且满足条件 ，那么我们得到结论 。 这是莫比乌斯反演的一般描述，即： 而在算法竞赛中，我们常用的是它的另一种描述： 其中 为莫比乌斯函数，它的定义如下： （1）若

定义： 默比乌斯函数或缪比乌斯函数是指以下的函数 ： μ ( n ) = { 1 若n=1 ; ( − 1 ) k 若 n 无 平 方 因 子 数 ， 且 n = p 1 ∗ p 2 . . . . ∗ p k ; 0 若 n 有 平 方 因 子 数 μ(n)= \left\{ \begin{aligned} 1& \ \ \ \text{若n=1};\\ (-1)^k& \ \ \ 若n无平方因子数，且n=p_1*p_2....*p_k ;\\ 0& \ \ \ 若n有平方因子数 \end{aligned} \right. μ ( n ) = ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ​ 1 ( − 1 ) k 0 ​ 若 n=1 ; 若 n 无 平 方 因 子 数 ， 且 n = p 1 ​ ∗ p 2 ​ . . . . ∗ p k ​ ; 若 n 有 平 方 因 子 数 ​ 性质： 我们之前就提到过，莫比乌斯是积性函数，必然满足积性函数的性质 积性函数 性质1: 性质2： 莫比乌斯函数值求法： 1.单个函数值： # include <iostream> using namespace std ; typedef long long ll ; //计算a是否可以mod b int MOD ( int a , int b ) { return a - a / b * b ; } //计算莫比乌斯函数

定义： 举个栗子： 假设 有两个函数 F ( n ) , f ( d ) F(n),f(d) F ( n ) , f ( d ) ，且 d ∈ { x , x ∣ n } d∈\{x,x|n\} d ∈ { x , x ∣ n } 并有以下关系： F ( n ) F(n) F ( n ) 等于所有 f ( d ) f(d) f ( d ) 之和。 比如： 6 6 6 能被 1 , 2 , 3 , 6 1,2,3,6 1 , 2 , 3 , 6 整除，所以 F ( 6 ) = f ( 1 ) + f ( 2 ) + f ( 3 ) + f ( 6 ) F(6)=f(1)+f(2)+f(3)+f(6) F ( 6 ) = f ( 1 ) + f ( 2 ) + f ( 3 ) + f ( 6 ) 用一个公示表示就是： F ( n ) = ∑ d ∣ n f ( d ) F(n)=\sum_{d|n}^{}{f(d)} F ( n ) = ∑ d ∣ n ​ f ( d ) ∣ | ∣ 符号表示整除， a ∣ b a|b a ∣ b 表示b被a整除， 也就是 b b b 有 a a a 这个因数， b = k a b=ka b = k a ( k ∈ N ) (k∈N) ( k ∈ N ) 。 由此可得到： F ( 1 ) = f ( 1 ) F(1)=f(1) F ( 1 ) = f

莫比乌斯函数 定义 设 \(n=\prod_{i=1}^{k} p_i^{c_i}\) ，则 \(\mu(n)=(-1)^k\) ，特别地 \(\mu(1)=1\) 。 性质 最常用性质 \(\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]\) 反演性质 \(F(n)=\sum_{d|n}f(d) \Longleftrightarrow f(n)=\sum_{d|n}F(d)\mu(\frac{n}{d})\) \(F(n)=\sum_{n|d}f(d) \Longleftrightarrow f(n)=\sum_{n|d}F(d)\mu(\frac{d}{n})\) 常用性质 \(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}[gcd(i,j)=1]=\sum_{d=1}^{n}\mu(d)\lfloor\frac{n}{d}\rfloor \lfloor\frac{n}{d}\rfloor\) 欧拉函数 定义 设 \(n=\prod_{i=1}^{k}p_i^{c_i}\) ，有 \(\phi(n)=n\prod_{i=1}^{k}\frac{p_i-1}{p_i}\) 。 性质 最常用性质 \(\sum_{d|n}\phi(d)=n\) 零零散散的一些性质（没收集完） \(\phi(ab)=\frac{\phi(a)\phi(b)gcd(a,b)}{\phi(gcd(a

前置知识：莫比乌斯反演学习笔记1 本文介绍一些莫比乌斯反演的灵活应用，包括杜教筛等内容。 一、整除分块（数论分块） 补充一点基础知识... 具体来说就是：如果我们要求 \(\sum \limits_{i=1}^n\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\) ，并不需要用朴素算法 \(O(n)\) 去求，可以加快速度。 定理1：所有 \(1 \leq i \leq n\) 的 \(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\) 的结果最多只有 \(2\sqrt n\) 种。 证明：对于 \(i \in [1,\sqrt n]\) ，显然最多只有 \(\sqrt n\) 种取值，而对于 \(i \in [\sqrt n+1,n]\) ， \(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\leq\sqrt n\) ，因此也最多有 \(\sqrt n\) 种取值，两个部分相加，因此最多有 \(2\sqrt n\) 种取值。 定理2：对于确定的 \(i\) ，能使得 \(\lfloor\frac{n}{x}\rfloor=\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\) 的 \(x_{max}=\Big\lfloor\cfrac{n}{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}\Big\rfloor\) 。 这里选取了两种证明方法。 证法1：记 \(f

莫比乌斯反演学习笔记1 在这里首先要说明： 1：本文讨论的所有函数为数论函数，即定义域为 \(D=N^*\) 的函数； 2： \(\sum \limits_{d|n}f(d)\) 表示 \(d\) 取遍 \(n\) 的所有 正因子 ，再将所有的 \(f(d)\) 相加，例如当 \(n=6\) 时， \(\sum \limits_{d|n}f(d)=f(1)+f(2)+f(3)+f(6)\) ； 3： \(\prod \limits_{i=1}^ka_i=a_1 \times a_2 \times ... \times a_k\) ，即所有 \(a_i\) 的乘积； 4： \([p]\) （其中p是一个表达式）表示当p成立时，值为1；否则值为0； 5： \((a,b)\) 表示 \(gcd(a,b)\) ，即 \(a,b\) 的最大公因数； 6：几个在狄利克雷卷积中会出现的基本函数： \(\varepsilon(n)=[n=1]\) ，也就是 \(\varepsilon(n)=\begin{cases}1\qquad n=1\\0 \qquad n \neq 1 \end{cases}\) \(I(n)=1\) \(id(n)=n\) 一、积性函数 定义：如果一个函数 \(f(n)\) 满足：当 \((a,b)=1\) 时，有 \(f(ab)=f(a) \times f(b)\)