数学--数论--莫比乌斯函数

怎甘沉沦 提交于 2019-12-17 05:13:03

定义:
默比乌斯函数或缪比乌斯函数是指以下的函数 :
μ(n)={1   若n=1;(1)k   nn=p1p2....pk;0   nμ(n)= \left\{ \begin{aligned} 1& \ \ \ \text{若n=1};\\ (-1)^k& \ \ \ 若n无平方因子数,且n=p_1*p_2....*p_k ;\\ 0& \ \ \ 若n有平方因子数 \end{aligned} \right.

性质:
我们之前就提到过,莫比乌斯是积性函数,必然满足积性函数的性质
积性函数
性质1:
在这里插入图片描述
性质2:
在这里插入图片描述
莫比乌斯函数值求法:
1.单个函数值:

#include <iostream>
 
using namespace std;
typedef long long ll;
//计算a是否可以mod b
int MOD(int a,int b)
{
    return a-a/b*b;
}
 
//计算莫比乌斯函数
//如果一个数包含平方因子,那么miu(n)=0
//如果哟个数不包含平方因子,且有k个不同的质因子,那么miu(n)=(-1)^k
 
int miu(int n)
{
    int cnt,k=0;
    for(int i=2;i*i<n;i++)
    {
        if(MOD(n,i))
        {
            continue;
        }
        cnt=0;
        k++;
        while(MOD(n,i)==0)
        {
            n/=i;
            cnt++;
        }
        if(cnt>=2)
        {
            return 0;
        }
 
    }
    if(n!=1)
    {
        k++;
    }
    return MOD(k,2)?-1:1;
}
 
int main()
{
    ll n;
    cin>>n;
    cout<<miu(n)<<endl;
    return 0;
}

2.线性筛:

/*
 *  莫比乌斯反演公式
 *  线性筛法求解积性函数(莫比乌斯函数)
 */
const int MAXN = 1000000;
bool check[MAXN + 10];
int prime[MAXN + 10];
int mu[MAXN + 10];
 
void Moblus()
{
    memset(check, false, sizeof(check));
    mu[1] = 1;
    int tot = 0;
    for (int i = 2; i <= MAXN; i++)
    {
        if (!check[i])
        {
            prime[tot++] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for (int j = 0; j < tot; j++)
        {
            if (i * prime[j] > MAXN)
            {
                break;
            }
            check[i * prime[j]] = true;
            if (i % prime[j] == 0)
            {
                mu[i * prime[j]] = 0;
                break;
            }
            else
            {
                mu[i * prime[j]] = -mu[i];
            }
        }
    }
}
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