矩阵转置

矩阵的基本概念 假设 a i j ∈ R , 其中 i = 1 , 2 , . . . , m ; j = 1 , 2 , . . . , n . 我们定义如下的行列式： A = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ a 11 a 21 ⋮ a m 1 a 12 a 22 ⋮ a m 2 ⋯ ⋯ ⋯ a 1 n a 2 n ⋮ a m n ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 是一个维数为 m × n 的实数矩阵。有时候我们会用如下的表达式来表示一个矩阵： A = [ a i j ] , i = 1 , 2 , . . . , m ; j = 1 , 2 , . . . , n 这表示一个 m 行 n 列的矩阵，下标的第一个数 i 表示行，第二个数 j 表示列。 列向量定义： 一个向量可以看成是只有一列的矩阵，所以，这里讨论的所有向量都默认为列向量。 符号定义： 矩阵用大写的粗体字母表示，比如矩阵 A , B , X , 而向量用小写的粗体字母表示，比如向量 a , b , x . 矩阵的转置： 矩阵 A 的转置为 A T . 矩阵的逆： 如果一个矩阵 A 存在逆矩阵，则该逆矩阵表示为 A − 1 . 矩阵的 determinant: 如果一个矩阵 A 是一个方阵，则它的determinant表示为 | A | 单位矩阵 表示为 I , 零矩阵 或 空矩阵 表示为 0 。 矩阵的迹： 如果一个矩阵是 n ×

基本 一、数据管理 vector：向量 numeric：数值型向量 logical：逻辑型向量 character；字符型向量 list：列表 data.frame：数据框 c：连接为向量或列表 length：求长度 subset：求子集 seq，from:to，sequence：等差序列 rep：重复 NA：缺失值 NULL：空对象 sort，order，unique，rev：排序 unlist：展平列表 attr，attributes：对象属性 mode，typeof：对象存储模式与类型 names：对象的名字属性 二、字符串处理 character：字符型向量 nchar：字符数 substr：取子串 format，formatC：把对象用格式转换为字符串 paste，strsplit：连接或拆分 charmatch，pmatch：字符串匹配 grep，sub，gsub：模式匹配与替换 　 三、复数 complex，Re，Im，Mod，Arg，Conj：复数函数 　 四、因子 factor：因子 codes：因子的编码 levels：因子的各水平的名字 nlevels：因子的水平个数 cut：把数值型对象分区间转换为因子 table：交叉频数表 split：按因子分组 aggregate：计算各数据子集的概括统计量 tapply：对“不规则”数组应用函数 数学 一、计算 +,

数据结构 一、数据管理 vector：向量 numeric：数值型向量 logical：逻辑型向量 character；字符型向量 list：列表 data.frame：数据框 c：连接为向量或列表 length：求长度 subset：求子集 seq，from:to，sequence：等差序列 rep：重复 NA：缺失值 NULL：空对象 sort，order，unique，rev：排序 unlist：展平列表 attr，attributes：对象属性 mode，typeof：对象存储模式与类型 names：对象的名字属性 二、字符串处理 character：字符型向量 nchar：字符数 substr：取子串 format，format C：把对象用格式转换为字符串 paste，strsplit：连接或拆分 charmatch，pmatch：字符串匹配 grep，sub，gsub：模式匹配与替换 三、复数 complex，Re，Im，Mod，Arg，Conj：复数函数 四、因子 factor：因子 codes：因子的编码 levels：因子的各水平的名字 nlevels：因子的水平个数 cut：把数值型对象分区间转换为因子 table：交叉频数表 split：按因子分组 aggregate：计算各数据子集的概括统计量 tapply：对“不规则”数组应用函数 数学相关计算 一、计算

数据结构 一、数据管理 vector：向量 numeric：数值型向量 logical：逻辑型向量 character；字符型向量 list：列表 data.frame：数据框 c：连接为向量或列表 length：求长度 subset：求子集 seq，from:to，sequence：等差序列 rep：重复 NA：缺失值 NULL：空对象 sort，order，unique，rev：排序 unlist：展平列表 attr，attributes：对象属性 mode，typeof：对象存储模式与类型 names：对象的名字属性 二、字符串处理 character：字符型向量 nchar：字符数 substr：取子串 format，format C：把对象用格式转换为字符串 paste，strsplit：连接或拆分 charmatch，pmatch：字符串匹配 grep，sub，gsub：模式匹配与替换 三、复数 complex，Re，Im，Mod，Arg，Conj：复数函数 四、因子 factor：因子 codes：因子的编码 levels：因子的各水平的名字 nlevels：因子的水平个数 cut：把数值型对象分区间转换为因子 table：交叉频数表 split：按因子分组 aggregate：计算各数据子集的概括统计量 tapply：对“不规则”数组应用函数 数学相关计算 一、计算

说明：用matlab语言编写的程序，称为M文件。M文件分为脚本文件和函数文件，扩展名均为.m。 注释：%注释文本 不等号：~= 它是一个易用的一元函数绘图函数 。特别是在绘制含有符号变量的函数的图像时，ezplot要比 plot 更方便。因为plot绘制图形时要指定自变量的范围，而ezplot无需数据准备，直接绘出图形。 Inf：∞无穷大 Nan：not a number不是数 符号说明 逗号：用来将矩阵中的行元素分开。（可用空格代替） 分号：用来将矩阵中的行分开。（可用回车键代替） 中括号[]：界定数组的首与尾。 小括号()：表示指定的元胞。 大括号{}：表示元胞的内容。 冒号：相当于文字中的省略号。 数组 行数组：A=[1,2,3,4] 列数组：A=[1;2;3;4] 矩阵：A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9] 创建数组 zeros(m) m阶全零方阵 zeros(m,n) m×n阶全零方阵 ones(m) m阶全1方阵 ones(m,n) m×n阶全1方阵 eye(m) m阶单位阵 定步长 生成法： x=a:t:b，t是步长，省略是为1。 定数 线性采样法： x=linspace(a,b,n)，a与b是数组的第一个和最后一个元素，n是采样的总点数。 注意：1、 生成的都是行向量 2、linspace(a,b,n) 与 a:(b-a)/(n-1):b 等价 选取数组 A(

模型矩阵ModelMatrix 在Unity中，每一个GameObject上面都会有一个Transform，用来记录这个Object的position，rotation和scale. 这可以用另外三个矩阵表示。 视图矩阵ViewMatrix 视图矩阵用来将物体从世界坐标系转变为摄像机坐标系。 投影矩阵ProjectionMatrix 投影矩阵用来将物体从摄像机坐标系转变为屏幕坐标系。 --------------- 以上三个变换矩阵，取首字母就是mvpmatrix。这些矩阵实际计算每个需要再分解为3个矩阵，即平移，旋转，缩放。 其中旋转矩阵是正交矩阵。The orthogonal matrix，如果一个矩阵满足以下几个条件，则此矩阵就是正交矩阵： （1）是一个方阵 （2）转置矩阵等于逆矩阵 如果A为一个正交矩阵，则A满足以下条件： A的各行是单位向量且两两正交 A的各列是单位向量且两两正交 参考 https://blog.csdn.net/silangquan/article/details/50987196 https://blog.csdn.net/silangquan/article/details/50984641 https://blog.csdn.net/charlee44/article/details/102063461 http://www.opengl

　　此帖是根据期末考试复习重点补充完成， 由于使用word编辑引用图片和链接略有不便， 所以开此贴供复习及学习使用。侵删 复习要点 第一章 Matlab的基本概念，名称的来源，基本功能，帮助的使用方法 1.基本概念和名称来源： MATLAB [1] 是美国 MathWorks 公司出品的商业 数学软件 ， 用于算法开发、数据可视化、数据分析以及 数值计算 的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。 MATLAB是matrix&laboratory两个词的 组合 ，意为矩阵工厂（矩阵实验室） 2.基本功能： 　　2.1数值计算和符号计算功能 　　MATLAB以矩阵作为数据操作的基本单位，还提供了十分丰富的数值计算函数。 　　2.2绘图功能，matlab提供了两个层次的绘图操作。一种是对图形句柄，进行底层绘图操作。另一种是建立在低层绘图操作之上的高层绘图操作。 　　2.3编程语言 　　MATLAB具有程序结构控制、函数调用、数据结构、输入输出、面向对象等程序语言特征，而且简单易学、编程效率高 　　2.4MATLAB工具箱 　　MATLAB包含两部分内容：基本部分和各种可选的工具箱。 　　MATLAB工具箱分为两大类：功能性工具箱和学科性工具箱。 3.帮助的使用方法 　　3.1 帮助命令 　　MATLAB帮助命令包括help命令和lookfor命令。

一、正交矩阵 　定义：Orthogonal Matrix (必为方阵) 如果$A^TA=AA^T=I$，则$n$阶实矩阵$A$称为正交矩阵 　性质： 　　1）$A^T$是正交矩阵 　　2）$A$的各行是单位向量且两两正交 　　3）$A$的各列是单位向量且两两正交 　　4）|A|=1或-1 　 举例： 二、标准正交矩阵的优势 　 1）求解投影矩阵 　　 在 投影矩阵章节 我们已经知道投影矩阵为： $P=A\left(A^{T} A\right)^{-1} A^{T}$ 　　当矩阵A为标准正交矩阵Q时 ，由于正交矩阵与其转置的乘积为单位矩阵，则上式可以转化为： $P=QQ^{T}$ 　　这样就将投影矩阵简单化了。 　 2）求解$Ax=b$ 　　 在 投影矩阵章节 我们已经知道： $\hat{x}=\left(A^{T} A\right)^{-1} A^{T} b$ 　　 当矩阵A为标准正交矩阵Q时 ，由于正交矩阵与其转置的乘积为单位矩阵，则上式可以转化为： $\hat{x}=Q^{T} b$ 三、Gram-Schmidt正交化 　 1） 二维情况 　　 假设原来的矩阵为[a,b]，a，b为 线性无关的二维向量 ，下面我们通过Gram-Schmidt正交化获得 标准正交矩阵 　　假设正交化后的矩阵为Q=[A,B]，我们可以令$A=a$，$B$垂直于$A$，根据我们 在 前面所讲的投影

MATLAB向量的创建 1、行向量 行向量有两种表示方法 %示例1 R1 = [1 2 3 4 5] R2 = [1,3,5,7,9] R = R1 + R2 %结果1 R1 = 1 2 3 4 5 R2 = 1 3 5 7 9 R = 2 5 8 11 14 2、列向量 %示例2 C = [9;1;8;2;7;3] %结果2 C = 9 1 8 2 7 3 矩阵 MATLAB的功能极其强大，其强大功能之一便是可以直接处理向量与矩阵。 %矩阵的创建 %3*3矩阵 X=[1 2 3;4 5 6;7 8 9] X = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 %矩阵的转置 X1=X' >> X' ans = 1 4 7 2 5 8 3 6 9 %求矩阵的逆 %way1 I=[1 1 1]; I=diag(I) X2=I/X %way2 X2=inv(X) %矩阵转化为列向量 X3=X(:) >> X(:) ans = 1 4 7 2 5 8 3 6 9 来源： CSDN 作者： Yao_ch 链接： https://blog.csdn.net/weixin_43416601/article/details/104129261

http://www.cnblogs.com/FengYan/archive/2012/05/06/2480664.html 1. SVD简介 假如要预测Zero君对一部电影M的评分，而手上只有Zero君对若干部电影的评分和风炎君对若干部电影的评分（包含M的评分）。那么能预测出Zero君对M的评分吗？答案显然是能。最简单的方法就是直接将预测分定为平均分。不过这时的准确度就难说了。本文将介绍一种比这个最简单的方法要准上许多，并且也不算复杂的算法。 SVD(Singular Value Decomposition)的想法是 根据已有的评分情况，分析出评分者对各个因子的喜好程度以及电影包含各个因子的程度，最后再反过来根据分析结果预测评分 。电影中的因子可以理解成这些东西：电影的搞笑程度，电影的爱情爱得死去活来的程度，电影的恐怖程度。。。。。。SVD的想法抽象点来看就是将一个N行M列的评分矩阵R（R[u][i]代表第u个用户对第i个物品的评分），分解成一个N行F列的用户因子矩阵P（P[u][k]表示用户u对因子k的喜好程度）和一个M行F列的物品因子矩阵Q（Q[i][k]表示第i个物品的因子k的程度）。用公式来表示就是 R = P * T(Q) //T(Q)表示Q矩阵的转置 下面是将评分矩阵R分解成用户因子矩阵P与物品因子矩阵Q的一个例子。R的元素数值越大，表示用户越喜欢这部电影