矩阵转置

目录 2019/08/16 学习整理 函数进阶(模块) numpy模块 创建矩阵(掌握) 获取矩阵的行列数(掌握) 切割矩阵(掌握) 矩阵元素替换(掌握) 矩阵的合并(熟悉) 通过函数创建矩阵(掌握) arange linspace/logspace zeros/ones/eye/empty fromstring/fromfunction(了解) 矩阵的运算(掌握) 普通矩阵运算 常用矩阵运算函数(了解) 矩阵的点乘(掌握) 矩阵的转置(掌握) 矩阵的逆(掌握) 矩阵其他操作(熟悉) 最大最小值 平均值 方差 标准差 中位数 矩阵求和 累加和 numpy.random生成随机数(熟悉) pandas模块 Series(熟悉) DataFrame(掌握) DataFrame属性(掌握) DataFrame取值(掌握) loc/iloc 使用逻辑判断取值 DataFrame值替换(掌握) 读取CSV文件(掌握) 处理丢失数据(掌握) 导入导出数据(掌握) 合并数据(掌握) 读取sql语句(熟悉) matplotlib模块 条形图(掌握) 直方图(掌握) 折线图(掌握) 散点图+直线图(掌握) 2019/08/16 学习整理 函数进阶(模块) 建议学习的时候去看官方文档学习 numpy模块 numpy官方文档： https://docs.scipy.org/doc/numpy

矩阵 相乘最重要的方法是一般矩阵 乘积 。它只有在第一个矩阵的列数（column）和第二个矩阵的行数（row）相同时才有意义 [1] 。一般单指矩阵乘积时，指的便是一般矩阵乘积。一个m×n的矩阵就是m×n个数排成m行n列的一个数阵。由于它把许多数据紧凑的集中到了一起，所以有时候可以简便地表示一些复杂的模型。 定义 设 A 为 的矩阵， B 为 的矩阵，那么称 的矩阵 C 为矩阵 A 与 B 的乘积，记作 ，其中矩阵C中的第 行第 列元素可以表示为： 如下所示： 注意事项 当矩阵A的列数等于矩阵B的行数时，A与B可以相乘。 矩阵C的行数等于矩阵A的行数，C的列数等于B的列数。 乘积C的第m行第n列的元素等于矩阵A的第m行的元素与矩阵B的第n列对应元素乘积之和。 基本性质 乘法结合律： ( AB ) C = A ( BC )． [2] 乘法左分配律：( A + B ) C = AC + BC [2] 乘法右分配律： C ( A + B )= CA + CB [2] 对数乘的结合性 k ( AB ）=( kA ) B = A ( kB ）． 转置 ( AB ) T= B T A T． 矩阵乘法一般不满足交换律 [3] 。 乘积-哈达马积( hadamard product) 矩阵 与 矩阵 的Hadamard积记为 。其元素定义为两个矩阵对应元素的乘积 的 m×n 矩阵 [2] 。例如，

标准数组生成 zero(M, N) 生成一个大小是M N的double类矩阵，其元素均为0 ones(M, N) 生成一个大小是M N的double类矩阵，其元素均为1 ture(M, N) 生成一个大小是M N的logical类矩阵，其元素均为1 false(M, N) 生成一个大小是M N的logical类矩阵，其元素均为0 magic(M) 生成一个大小均为M N的“魔方矩阵”，在该矩阵中，每一行的元素之和、每一列的元素之和以及主对角线中的元素之和均相等，易于生成，元素均为整数 rand(M, N) 生成一个大小是M N的矩阵，其元素都是在区间[0，1]中均匀分布的随机数 randn(M, N) 生成一个大小是M*N的矩阵，其元素是正态分布的随机数，随机数均值为0，方差为1 数组和矩阵算术运算符 图像是等价于矩阵的二维数组，因此以下所有运算符均适用于图像 .* 表示数组乘法， times(A, B) 这种乘法的乘积是与A和B大小相同的数组，其每个元素都是A和B中相应元素的乘积 * 表示传统意义的矩阵乘法 mtimes(A, B) ./ 数组右除 rdivide()A, B .\ 数组左除 ldivide(A, B) / 矩阵右除 mrdivide(A, B) \ 矩阵左除 mldivide(A, B) .^ 数组求幂 power(A, B) ^ 矩阵求幂 mpower(A,

14 正交向量与正交子空间 正交向量 正交就是垂直的另一种说法。两向量正交的判据之一就是其点积 当两个向量的夹角为90度的时候，按照勾股定理x,y满足: 正交子空间 子空间S与子空间T正交，则S中任意一个向量都与T中任意一个向量正交。 15 子空间投影 投影 几何解释：在向量a上寻找与向量b距离最近的一点。从图中可以看出距离点p最近就是穿过b点并与向量a正交的直线与向量a所在直线的交点上。这就是b在a上的投影。如果我们将向量p视为b的一种近似，则长度e=b-p就是这一近似的误差。 因为p在向量a的方向上，因此可以令p=xa，而因为它与e正交，我们可以得到方程： 解得： 投影矩阵 将投影问题用投影矩阵方式进行描述，即p=Pb，其中P为投影矩阵。 则有： 在高维投影 如果a1和a2构成平面的一组基，则平面就是矩阵A=[a1a2]的列空间 已知向量p在平面内，则有 而： 与平面正交，因此e与a1和a2均正交，因此 16 投影矩阵和最小二乘法 投影 如果向量b本身就在A列空间之内，即存在x使得Ax=b，则有： 如果向量b与A的列空间正交，即向量b在矩阵的左零空间N(A)中： 最小二乘法 最优解的含义即为误差最小，这里误差就是每个方程误差值的平方和 误差即为数据点到直线距离的平方和。 对于空间向量b，投影矩阵A的列向量中得到p=[p1 p2 p3]T,投影到矩阵A的零空间中则为e。 17

标量(saclar ) ： 就是一个单独的数,没有方向，只具有数值大小，用斜体来表示，被赋予 小写的变量 名称，比如 斜体小写字母 k 可以表示一条线的斜率， n 可以表示一个集合中元素的数目。 向量(vector)： 一个向量是一列数，这些数是有序排列的，通过次序中的索引，我们可以确定每个单独的数，通常用 粗体的小写变量 名称表示，比如 ， 向量中的元素可以通过带脚标的斜体表示。 向量 x 的第一个元素是 x 1 ，第二个元素是 x 2 ，等等。我们也会注明存储在向量中的元素是什么类型的。如果每个元素都属于实数集 R，并且该向量有 n 个元素，那么该向量属 于实数集 R 的 n 次笛卡尔乘积构成的集合，记为 R n 。当我们需要明确表示向量中的元素时，我们会将元素排列成一个方括号包围的总队： 我们可以把向量看作空间重的点，每个元素使不同的坐标轴上的坐标。 有时候我们需要索引向量中的一些元素。在这种情况下，我们定义一个包含这些元素的索引集合，然后将该集合写在脚标处。比如，指定x 1 ，x 3 和x 6 ，我们定义集合s={1,3,6}，然后写 作x s。我们用符 - 表示集合的补集中的索引。 比如x_ 1 表示x中除了x 1 以外的所有元素，x _s 表示x中除了x 1 ，x 3 和x 6 外所有的元素构成的向量。 矩阵(matrix)： 矩阵是一个二维数组

Numpy特点 Numpy作为使用Python进行科学计算的常用库，有着如下特点： 提供了N维数组（矩阵），快速高效，矢量数学运算； 高效的Index，不需要循环，因为底层实现采用了C语言开发。 常见的数组和矩阵的方法 数组和矩阵的创建与维度信息 numpy.array() ## 数组的创建 vector = numpy.array([1,2,3,4]) ## 矩阵的创建 matrix = numpy.array([ [1,2,3], [4,5,6], [7,8,9] ]) shape ## 打印数组的维度信息 vector.shape() ——》(4,) # 数组中存在4个元素 ## 打印矩阵的维度信息 matrix.shape()——》(3,3) #三行三列 reshape eg: a = np.arange(15).reshape(3, 5) #随机创建3行5列的矩阵 Out: [[ 0 1 2 3 4] [ 5 6 7 8 9] [10 11 12 13 14]] a.ndim # 返回其维数 即 2 注意： reshape可以创建一个改变了尺寸的新数组，但是原始数组的shape是不会发生变化的。 reshape(-1) :数组新的shape属性应该要与原来的配套，如果等于-1的话，那么Numpy会根据剩下的维度计算出数组的另外一个shape属性值。 eg： z = np

降维算法应用：数据压缩、数据可视化。 主成分分析 ( PCA ) 是最常见的降维算法。 在 PCA 中，我们要做的是找到一个方向向量（ Vector direction ）， 当我们把所有的数据 都投射到该向量上时，我们希望投射平均均方误差能尽可能地小。方向向量是一个经过原点 的向量，而投射误差是从特征向量向该方向向量作垂线的长度。 PCA算法推导 关于PCA算法推导我觉得还是挺复杂的。之前在做数模比赛时，经常用到PCA算法， 但是都是拿来直接套用解决实际问题，根本没有仔细思考原理推导。 这里总结一下PCA算法原理推导中用到的两个重要原理： 特征值分解矩阵和SVD分解矩阵。 1. 特征值分解矩阵原理 (1) 特征值与特征向量 如果一个向量v是矩阵A的特征向量，将一定可以表示成下面的形式： 其中，λ是特征向量v对应的特征值，一个矩阵的一组特征向量是一组正交向量。 (2) 特征值分解矩阵 对于矩阵A，有一组特征向量v，将这组向量进行正交化单位化，就能得到一组正交单位向量。 特征值分解 ，就是将矩阵A分解为如下式： 其中，Q是矩阵A的特征向量组成的矩阵， 则是一个对角阵，对角线上的元素就是特征值。 2. SVD分解矩阵原理 奇异值分解是一个能适用于任意矩阵的一种分解的方法，对于任意矩阵A总是存在一个奇异值分解： 假设A是一个m*n的矩阵，那么得到的U是一个m*m的方阵

DDS DirectXDraw Surface file format, .dds。 这是微软从DirectX7开始引进的一种文件格式，它用来存储压缩的或未压缩的纹理，该格式支持mimaps cube maps和volume maps, D3DX和许多其他的DX工具都支持这种格式，比如DirectX Texture Editor(dxtex.exe)和Texture Conversion Tool(Texconv.exe),从D3D110开始，DDS文件也支持纹理数组 DXGI DirectX Graphics Infrastructure 转换为.x格式 MeshConvert.exe，这个tool位于Microsoft DirectX SDK \Utilities\bin\x86目录下面，可以用来转换.x文件，支持.x, .obj, .sdkmesh格式之间的相互转换，.sdkmesh是微软新的格式在DX10/DX11之后使用，用来取代.x格式，MeshConvert是一个命令行工具，使用方法如下 Usage: meshconvert <options> <input filename> <input filename> Input mesh filename. The input file can be of .x, .obj, or .sdkmesh format /o

TSP问题(Traveling Salesman Problem)是数学领域中著名问题之一。假设有一个旅行商人要拜访N个城市，他必须选择所要走的路径， 路径的限制是每个城市只能拜访一次(通过禁忌表) ，而且最后要回到原来出发的城市，要求路径的总和最小 蚁群算法(AG)是一种模拟蚂蚁觅食行为的模拟优化算法，首先使用在解决TSP（旅行商问题）上。 人工蚁群与真实蚁群对比： 相同点 不同点 都是为了寻找最短路径问题 人工蚁群具有记忆功能 都存在个体间的信息交互问题 人工蚁群的选择并不盲目性 都采用根据当前的信息进行随机选择策略 人工蚂蚁生活在离散的时间环境中 代码部分： 蚁群算法实现核心有两点 ：1，蚂蚁如何选择下一个城市；2，城市间路径信息素如何更新。 a. 计算城市之间的转移概率： % 计算城市之间的转移概率 for k = 1:length(allow) P(k) = Tau(tabu(end),allow(k))^alpha * Eta(tabu(end),allow(k))^beta; %等式的分子 End P = P/sum(P); %上面等式的分母部分 在计算出来城市之间的转移概率之后还要用轮盘赌法的原因： 在得到剩下去城市概率，产生一个随机数，基于随机数决定去下面哪一个城市。例如：剩3个城市，概率为：0.1，0.2，0.7，累计概率为：0.1，0.3，0.7

Matrix&Vector的运算 原文地址： http://eigen.tuxfamily.org/dox/group__TutorialMatrixArithmetic.html 本章主要对矩阵、向量和标量之间的计算做一些简要介绍 介绍 为了实现矩阵（向量）之间的计算，Eigen同时提供了运算符重载（+、-、×、/ 等）和类方法（dot()、corss() 等）两大形式的工具。对于Matrix类，重载的运算符只支持线性代数相关算法。例如， matrix1*matrix2 意味着矩阵之间的点乘， vector+scalar 是不被允许的表达式。如果你需要数组操作而非线性代数计算，可参考 这里 。 加减运算 加减运算符左右的矩阵必须有相同的尺寸，也必须有相同的元素类型，Eigen不支持自动类型提升。一下为运算符示例： a+b、a-b、-a、a+=b、a-=b 。 矩阵与标量的乘除 矩阵乘或者除以标量的方法也很简单，例如： matrix/scalar、m*s、s*m、m/=s、m*=s 表达式注意事项 这里描述的是Eigen的高阶特性，具体内容可以参考 这里 ，这里我们稍微提一下。在EIgen中算术运算符并不做实际的计算，这些运算符只是返回一个 被标识 要做相关计算的对象，真实的计算发生在对整个表达式求值的时候，一般是遇见赋值等号的时候。这样做有利于编译器做优化。举个例子：