方差计算公式

数理统计与参数估计 统计量 期望/方差/偏度/峰度 协方差和相关系数 独立和不相关 期望 数学期望（均值）是实验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。它反映随机变量平均取值的大小。 离散型 如果随机变量只取得有限个值或无穷能按一定顺序一一列出，其值域为一个或若干个有限或无限区间 连续的 设连续性随机变量X的概率密度函数为f(x)，若积分绝对收敛，则称积分的值 为随机变量的数学期望，记为E(X) 期望的性质 无条件成立 E(kX) = kE(X) E(X + Y) = E(X) + E(Y) 若X和Y相互独立 E(XY) = E(X)E(Y) 反之不成立，若E(XY)=E(X)E(Y),只能说明X和Y不相关 方差 用来度量随机变量和数学期望之间的偏离程度（统计中的方差（样本方差）是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数） 标准差、方差越大，离散程度越大 方差的性质 D(CX) = C^2*D(X), D(X+C)=D(X) D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2Cov(X,Y) 当X， Y 是不相关的随机变量则：D(X+Y)=D(X)+D(Y) 协方差：Cov(X,Y) = E{[X - E(X)][Y - E(Y)]} 方差就是协方差的一种特殊情况，即两个变量相同 离散型方差计算： 展开后 连续性方差计算： 展开后 随机变量的期望和方差 离散型： 连续型：

总体方差与样本方差分母的小小区别，n还是n-1？ 引入 方差概念 方差计算 无偏估计 样本方差公式 相关参考链接 样本方差的自由度是n-1 引入 方差概念 方差是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量，用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。 方差计算 定义： D X = E ( X − E X ) 2 = E X 2 − ( E X ) 2 D X=E(X-E X)^{2}=E X^{2}-(E X)^{2} D X = E ( X − E X ) 2 = E X 2 − ( E X ) 2 离散型和连续型的随机变量计算公式分别为： D ( X ) = { ∑ k = 1 ∞ [ x k − E ( X ) ] 2 p k , ∫ − ∞ ∞ [ x k − E ( X ) ] 2 f ( x ) d x \boldsymbol{D}(\boldsymbol{X})=\left\{\begin{array}{c} {\sum_{k=1}^{\infty}\left[\boldsymbol{x}_{k}-\boldsymbol{E}(\boldsymbol{X})\right]^{2} p_{k},} \\ {\int_{-\infty}^{\infty}\left[\boldsymbol{x}_{k}-\boldsymbol{E}(

方差、协方差和Pearson相关系数在机器学习的理论概念中经常出现，本文主要理一下这几个概念及其相互间的关系。 （一）方差： 方差是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数，公式如下： 上式中mui为样本均值。方差可以反应样本数据的离散程度，由上式可以看出，方差越大，样本离散程度也越大。机器学习中，如果某一特征值的离散程度很小，即表示该特征取值很少，可以认为样本在这个特征上基本没有差异，那这个特征对于样本区分没有什么作用，可以将这个特征去除，从而做到特征选择。 （二）标准差： 标准差即方差的开平方，不展开了，下面是公式： （三）协方差： 协方差描述的是两个变量间的相关性，计算公式如下： 也可以用以下公式表示，两者是等价的： cov(X, Y) = E[(X-E[X])(Y-E[Y])] 上式中E[ ]表示求期望，其中E[X]为X特征期望或均值，E[Y]为Y特征期望或均值。 对比方差和协方差的公式可以看出两者很像，但方差的结果是大于等于0的，当等于0时，说明样本的x特征取值唯一，反应的样本的x特征的离散程度； 协方差的取值则可以大于零也可以小于零，当大于零时，说明对应的两个变量x和y与其均值相比都同大于或同小于，即两个变量的变化趋势相同（正相关）；当小于零时，说明对应的两个变量x和y不同时大于或小于其均值，即两个变量的变化趋势相反（负相关）；而当均方根接近零时

为什么样本方差的分母是n-1？最简单的原因，是因为因为均值已经用了n个数的平均来做估计在求方差时，只有(n-1)个数和 均值信息 是不相关的。而你的第ｎ个数已经可以由前(n-1)个数和均值　来唯一确定，实际上没有信息量。所以在计算方差时，只除以(n-1)。 那么更严格的证明呢？请耐心的看下去。 样本方差计算公式里分母为 的目的是为了让方差的估计是无偏的。 无偏的估计(unbiased estimator)比有偏估计(biased estimator)更好是符合直觉的，尽管有的统计学家认为让mean square error即MSE最小才更有意义，这个问题我们不在这里探讨；不符合直觉的是，为什么分母必须得是 而不是才能使得该估计无偏。 首先，我们假定随机变量的数学期望是已知的，然而方差未知。在这个条件下，根据方差的定义我们有 由此可得 因此 是方差的一个无偏估计，注意式中的分母不偏不倚正好是！这个结果符合直觉，并且在数学上也是显而易见的。 现在，我们考虑随机变量 的数学期望是未知 的情形。这时，我们会倾向于无脑直接用样本均值 替换掉上面式子中的 。这样做有什么后果呢？后果就是，如果直接使用 作为估计，那么你会倾向于低估方差！ 这是因为： 换言之，除非正好，否则我们一定有 而不等式右边的那位才是的对方差的“正确”估计！ 这个不等式说明了，为什么直接使用 会导致对方差的低估。 那么

目录 1.假设检验的基本问题 2.一个总体参数的检验 3. 两个总体参数的检验 1.假设检验的基本问题 假设检验是推断统计的另一项重要内容，它与参数估计类似，但角度不同，参数估计是利用样本信息推断未知的总体参数，而假设检验则是先对总体参数提出一个假设值，然后利用样本信息判断这一假设是否成立。 1.1 假设的陈述 1.对总体参数的具体数值所作的陈述，称为假设，或称为统计假设。 2. 先对总体参数提出某种假设，然后利用样本信息判断假设是否成立的过程，称为假设检验。 3. 通常将研究者想收集证据予以支持的假设称为备择假设，或称为研究假设，用H1或Ha表示。 4.通常将研究者想收集证据予以反对的假设称为原假设，或称零假设，用H0表示。 备选假设具有特定的方向性，并含有符号“>”或“<”的假设检验，称为单侧检验或单尾检验。 在单侧检验中，由于研究者感兴趣的方向不同，又可以分为左侧检验和右侧检验。如果研究者选择的备选假设的方向是“<”，称为左侧检验反之选择是“>”，称为右侧检验。 备选假设没特定的方向性，并含有符号“！=”的假设检验，称为双侧检验或双尾检验。 1.2 两类错误与显著性水平 当原假设为真时拒绝原假设，所犯的错误称为第一类错误， 又称弃真错误。犯第一类错误的概率通常记为a. 当原假设为假时没有拒绝原假设，所犯的错位称为第二类错误，又称取伪错误。犯第二类错误的概率通常记为b。

数学期望 数学期望E（x）完全由随机变量X的概率分布所确定，若X服从某一分布，也称E（x）是这一分布的数学期望。 数学期望的定义是实验中每次可能的结果的概率乘以其结果的总和。 离散型随机量的数学期望 定义：离散型随机变量的所有可能取值 xixi 与其对应的概率 P(xi) 乘积的和为该离散型随机量的数学期望，记为 E(X)。 公式： E(X)=∑i=1nxiPi 连续型随机量的数学期望 定义：假设连续型随机变量 XX的概率密度函数为 f(x)，如果积分∫+∞−∞xf(x)dx绝对收敛，则称这个积分的值为连续型随机量的数学期望，记为 E(X)。 公式： E(X)=∫+∞−∞xf(x)dx 数学期望的性质 设C为常数： E(C)==C 设C为常数： E(CX)==CE(X) 加法：E(X+Y)==E(X)+E(Y) 当X和Y相互独立时，E(XY)=)=E(X)E(Y) （主意，X和Y的相互独立性可以通过下面的“协方差”描述） 数学期望的意义 根据“大数定律”的描述，这个数字的意义是指随着重复次数接近无穷大时，数值的算术平均值几乎肯定收敛于数学期望值，也就是说数学期望值可以用于预测一个随机事件的平均预期情况。 方差 数学期望给出了随机变量的平均大小,现实生活中我们还经常关心随机变量的取值在均值周围的散布程度,而方差就是这样的一个数字特征。 方差有两个定义，一个是统计学的定义

当C为常数时， V a r ( C ) = 0 Var( C ) = 0 V a r ( C ) = 0 当X是随机变量，C是常数时： V a r ( C X ) = C 2 V a r ( X ) , V a r ( C + X ) = V a r ( X ) Var(CX) = C^2Var(X),Var(C+X)=Var(X) V a r ( C X ) = C 2 V a r ( X ) , V a r ( C + X ) = V a r ( X ) 设X与Y是随机变量， V a r ( X + Y ) = V a r ( X ) + V a r ( Y ) + 2 C o v ( X , Y ) Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y) V a r ( X + Y ) = V a r ( X ) + V a r ( Y ) + 2 C o v ( X , Y ) V a r ( X − Y ) = V a r ( X ) + V a r ( Y ) − 2 C o v ( X , Y ) Var(X-Y)=Var(X)+Var(Y)-2Cov(X,Y) V a r ( X − Y ) = V a r ( X ) + V a r ( Y ) − 2 C o v ( X , Y ) 其中，协方差是 C o v ( X , Y ) = E [ ( X −

总体方差 ，也叫做有偏估计，其实就是我们从初高中就学到的那个标准定义的方差： ，其中， 为总体的均值， 为总体的标准差， 为总体的样本数。 样本方差， 无偏方差，在实际情况中，总体均值 是很难得到的，往往通过抽样来计算，于是有样本方差，计算公式如下： 或者 ，其中， 为样本的均值， 为样本的标准差， 为样本的个数。 实际操作中，我们一般通过抽样来验证总体。就会面临以下两种情况： （总体的均值）已知 即无偏估计，方差 （总体的均值）未知 即有偏估计，此时， 如果直接使用 作为估计，那么你会倾向于低估方差！ 这是因为 换言之，除非正好 ，否则我们一定有 ,而不等式右边的那位才是的对方差的“正确”估计！ 那么，在不知道随机变量真实数学期望的前提下，如何“正确”的估计方差呢？答案是把上式中的分母 换成 ，通过这种方法把原来的偏小的估计“放大”一点点，我们就能获得对方差的正确估计了： 那么，至于为什么分母是 而不是 或者别的什么数呢？ 即证明 来源： CSDN 作者： 虾nen nen 链接： https://blog.csdn.net/huangguohui_123/article/details/103547309

方差迭代计算过程推导 术语约定 递推公式 过程推导 术语约定 (1) E n = 1 n ∑ i = 1 n x i E_n =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x_i \tag{1} E n = n 1 i = 1 ∑ n x i ( 1 ) (2) F ( n ) = ∑ i = 1 n ( x 2 E n ) F(n) = \sum_{i=1}^{n}{(x^2-E_n)} \tag{2} F ( n ) = i = 1 ∑ n ( x 2 E n ) ( 2 ) (3) V ( n ) = 1 n ∑ i = 1 n ( x 2 E n ) = F ( n ) n V(n) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{(x^2-E_n)} = \frac{F(n)}{n} \tag{3} V ( n ) = n 1 i = 1 ∑ n ( x 2 E n ) = n F ( n ) ( 3 ) 递推公式 F ( n ) = ∑ i = 1 n ( x i 2 E n ) = ∑ i = 1 n x i 2 2 ∑ i = 1 n x i E n + n E n 2 由 E n = 1 n ∑ i = 1 n x i 可 导 出 ， n E n = ∑ i = 1 n x i , 故 F(n) = \sum_{i=1}^ {n}{(x_i^ 2

方差分为：样本方差和总体方差； 　　总体方差计算公式： 　　 　　 为总体方差， 为变量， 为总体均值， 为总体例数。 　　实际工作中， 总体均数难以得到时 ，应用样本统计量代替总体参数，经校正后，样本方差计算公式： 　　S^2= ∑（X- ） ^2 / （n-1） 　　S^2为样本方差，X为变量， 为样本均值，n为样本例数。 标准差的平方就是方差； arr =【2，1，5】 excel上拉数据透视表： 总体方差：2.888889 　　　　　　　#=POWER（STDEVP(arr)，2） 总体标准（偏）差：1.699673　　　　#=STDEVP(arr) 方差：4.333333 #=VAR（arr） #样本方差 标准（偏）差：2.081666 #=SQRT(VAR(arr)) #样本标准差 python-numpy: import numpy as nparr = [2, 1, 5]arr_mean = np.mean(arr)arr_var = np.var(arr，ddof=1) #样本方差 arr_std = np.std(arr,ddof=1) #样本标准差 ddof就是：n-ddof,ddof默认为0print("平均值为：%f" % arr_mean)print("方差为：%f" % arr_var)print("标准差为:%f" % arr_std) 平均值为：2