方差的性质

1. 当C为常数时，$Var( C ) = 0$

2. 当X是随机变量，C是常数时：$Var(CX) = C^2Var(X),Var(C+X)=Var(X)$

3. 设X与Y是随机变量，$Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)$
   $Var(X-Y)=Var(X)+Var(Y)-2Cov(X,Y)$
   其中，协方差是$Cov(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)]$
   当X,Y是不相关的随机变量时，$Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)$

4. Var(X)=0的充分必要条件是X以概率1取常数E（X），即
   $P({X=EX})=1$
   （当且仅当X取常数值E（X）时的概率为1时，Var（X）=0。）
   注：不能得出X恒等于常数，当x是连续的时候X可以在任意有限个点取不等于常数c的值。

5. $Var(aX+bY) =a^2Var(X)+b^2Var(Y)+2abCov(X,Y)$

6. 总体方差计算公式：
   $\sigma^2=\frac{\Sigma(X-\mu)^2}{N}$
   $\sigma^2 为总体方差$
   $x为变量$
   $\mu 为总体均值$
   $N为总体例数$
   7.样本方差计算公式：
   $S^2=\frac{\Sigma(X-\overline{X})}{n-1}$
   $\overline X为样本均值$
   $S^2 为样本方差,X为变量，n为样本例数$

7. 离散型方差：
   $Var(X) = \Sigma_{i=1}^n{p_i\dot(x_i-\mu)^2}$
   其中$\mu = E(X)$
   而将上式展开后可得：
   $Var(X)=\Sigma_{i=1}^{n}(p_i*x_i^2)-\mu ^2$

来源：CSDN

作者：Philtell

链接：https://blog.csdn.net/CCCrunner/article/details/103682885