导数

一阶导数与Soble算子 二阶导数与拉普拉斯算子 图像边缘： Soble算子： 二阶导数： 拉普拉斯算子： import cv2 as cv import numpy as np # 图像梯度（由x,y方向上的偏导数和偏移构成），有一阶导数（sobel算子）和二阶导数（Laplace算子） # 用于求解图像边缘，一阶的极大值，二阶的零点 # 一阶偏导在图像中为一阶差分，再变成算子（即权值）与图像像素值乘积相加，二阶同理 def sobel_demo(image): grad_x = cv.Sobel(image, cv.CV_32F, 1, 0) # 采用Scharr边缘更突出 grad_y = cv.Sobel(image, cv.CV_32F, 0, 1) gradx = cv.convertScaleAbs(grad_x) # 由于算完的图像有正有负，所以对其取绝对值 grady = cv.convertScaleAbs(grad_y) # 计算两个图像的权值和，dst = src1*alpha + src2*beta + gamma gradxy = cv.addWeighted(gradx, 0.5, grady, 0.5, 0) cv.imshow("gradx", gradx) cv.imshow("grady", grady) cv.imshow("gradient

TV正则作为惩罚项具有明显的阶梯效应，会使图像不自然，这篇文章为了解决这个问题，提出了利用图像Hessian矩阵的Frobenius范数的二阶导数作为惩罚项进行CBCT重建，可以有效抑制TV惩罚项的阶梯效应。 TV惩罚项优先最小化一阶导数，因此往往具有分段函数结果。在这次研究当中，我们提出了使用hessian惩罚来进行CBCT重建。这就会涉及到图像的hessian矩阵的F范数来抑制TV惩罚中的阶梯效应。其中，Hessian惩罚是二阶导数惩罚。这背后的动机是二阶导数对于相邻像素之间的绝对差有较弱的惩罚，并且允许分段地平滑重建结果。 对于之前的重建方法，大多数的惩罚项都是二次式的，因此相关目标函数的优化可以直接进行，例如 高斯-赛德尔 和 共轭梯度法 。 但是不幸的是hessian惩罚不是二次式的，这就会让目标函数的最小化具有挑战性。作者发展了一种有效的算法来最小化目标函数—MM算法。 图像去噪的能量泛函： 第一项式加权最小二乘元作为（WLS）或数据保真项。对角线矩阵Σ的元素在WLS损失函数中起着加权的角色，决定着每项的贡献。第二项是先验约束或一个惩罚项。图像重建任务是通过最小化具有正约束的目标函数来找到一个衰减系数图像μ hessian惩罚 由于上式中的先验约束强制了平滑约束，图像的TV最小化在CBCT重建中在噪声抑制和边缘保持中显示了良好的作用。让μ是连续可微的三维图像

前面的笔记已经把 BP算法给推导了, 那4大公式, 核心就是 求偏导数的链式法则 , 这篇, 再来跟着大佬来推一波, 目的是为了加深印象. 关于记忆这个话题, 心理学家,其实早已经给出了答案, 最好的记忆方式, 就是重复 , 写了这么多的笔记, 其实大多内容都是重复的, 交叉的, 反复了, 但不同是, 每次反复, 其实都是一个认知理解上升的过程, 觉得还是很有必要的. BP算法-变量声明 回顾历史 还是跟之前一样的, 先做一个简单的介绍, 然后对变量进行声明, 力求跟写代码的逻辑一样, 严谨, 规范, 有注释, 逻辑清晰, 模块化和面向对象 先是来简单介绍一波BP算法. 最早在1970年代就已经有人提出了, 直到1986年, 深度学习的大佬们才在论文中阐述其重要性. 在80年代中期, 这些大佬分别独立发现了 误差反向传播算法 (Error Back Propagation Training) 简称BP , 解决了, 多层神经网络, 隐含层连接权值学习 问题. BP 用来干嘛: 根据训练的误差, 来 动态 更新节点之间的 权值 . 分别独立发现: 好比牛顿和莱布尼兹 分别从各自领域创建了微积分. 不由感慨, 成功的大佬, 都是类似的, 我等凡人失败的借口, 总是各有各的说辞, 真的好扎心, 而又无可奈何呀. BP算法相对于其他的神经网络学习算法会快很多,

计算机是如何识别人脸的？智能机器人是怎样思考的？搜索引擎是如何工作的？人工智能数学基础系列公开课通过人工智能热点问题开始，引出其中蕴涵的数学原理，然后构建解决实际问题的数学模型和方法，兼具趣味性与实用性，引导大家主动运用数学工具思考与解决实践中遇到的问题，为人工智能学习之路夯实数学基础。 数学在人工智能中的应用——全景拼接与VR 特征检测（线性代数、极值） 位姿估计（矩阵分析、最优化） 图像拼接（微积分、微分方程） 三维重构（计算几何学） 数学在人工智能中的应用——人脸识别 图像卷积 向量导数与梯度 链式求导法则 条件极值与最优化 随机优化 数学中与人工智能相关联最重要的部分： 微积分与线性代数——是基础 概率论与贝叶斯估计——是机器学习和深度学习必备基础 最优化方法与迭代——是应用的桥梁 信息论及熵——在人工智能中有巧妙应用 数学很枯燥，数学公式看着也让人很头疼，我们不能死板的学习，要学会将这些枯燥乏味的内容转化成生动形象的图亦或是自己感兴趣的东西，我们并不是数学专业的，所以并不需要钻入具体的证明，要找重点，注重最终目标。当然在学习知识的同时一定要加强自己的动手编程能力，可以参考最后给的手写识别案例锻炼自己。 导数和微分 核心思想：以直代曲 直线和曲线当然有差距，但是当趋于无穷小时，二者几乎等价。 导数的物理意义：原函数：位置 导数：速度 随着阶次越高我们的精确度越高

函数极限 设函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某一去心邻域内有定义，如果存在常数 \(A\) ，对于任意给定的正数 \(\varepsilon\) （无论它多么小），总存在正数 \(\delta\) ，使得对于 \(0<|x-x_0|<\delta\) ，均有 \(f(x)-A<\varepsilon\) ，那么常数 \(A\) 就叫做函数 \(f(x)\) 当时 \(x\rightarrow x_0\) 的极限，记作 \[ \lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)=A \] 夹逼定理 ：求函数的极限时，我们可以通过上界和下界两个函数去夹某个函数 \(f(x)\) ；如 \[ \sin(x)<x<\tan(x)\\ \Rightarrow \frac{\sin(x)}{x}<\frac{\sin(x)}{\sin(x)}=1,\frac{\sin(x)}{x}>\frac{\sin(x)}{\tan(x)} =\cos(x)\\ \Rightarrow \lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x}=1 \] 导数与斜率 斜率 ：对于一次函数 \(y=kx+b\) ， \(k\) 即为斜率； 导数 ： \(f’(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x

简单的数学运算： 极限运算： limit(f,x,x0): 计算x→x0时函数f的极限。 举例： syms x y1=(1+x+2*sin(x))^(2/x); y2=((1+x)^0.5-2)/(x^2-2*x-3); y3=x^2*sin(1/x)/sqrt(2*x^2-1); f1=limit(y1,0) f2=limit(y2,3) f3=limit(y3,inf) 导数计算： 计算 的各阶导数 diff(f,x,k): 计算函数f对x的k阶导数。 subs(f,x,x0): 计算函数f在x=x0点的函数值。 syms x y=x*atan(x); f1=diff(y,1) f2=diff(y,2) yy=subs(f2,x,1) syms x y z=x^y*log(2*x+3*y); fx=diff(z,x,1) fy=diff(z,y,1) fxy=diff(fx,y,1) fxy11=subs(fxy,[x,y],[1,1]) 积分计算： 求符号积分函数：int 格式：int(f,x,a,b) 功能：计算定积分 格式：int(f,x) 功能：计算不定积分 syms x y1=1/(1+x^3); y2=(x*exp(x))/(1+x)^2; y3=1/(x^2+2*x+3); fy1=int(y1) fy2=int(y2,0,1) fy3=int(y3,-inf,

困扰多年，看了不久以后就又会忘记。 一.方向导数 （1）方向导数是个数值。 二维空间情形： 我们把f(x+Dx,y+Dy)-f(x,y)的值Value1与PP1的距离value2的比值的极值叫做沿PP1的方向导数。 三维空间计算过程相似； 二.梯度 （1）梯度是一个向量。 （2）沿梯度方向的方向导数达到最大值； sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu2/lesson/8.7fangxiangdaoshuyutidu.htm 以二维空间为例，对于Z=f(x,y).在某点P(x0,y0)处的梯度可以理解为(DZ/Dx|x=x0，DZ/Dy|y=y0)。具体到离散状态，用差分的形式来表示 就是（一维的表示方法） 沿X方向 (f(x+Dx)-f(x)） 沿Y方向 （f(y+Dy)-f(y)) 梯度的方向表示为Sigta=arctan(Dy/Dx) 所以求解一个图像的各个方向的梯度时，我们采用模板与图像的卷积来进行计算： 分别表示在90度，0度，135度和45度的变化。 总结：某一方向的方向导数也就是f(x,y)在该方向的变化率（也就是f(x+Dx,y+dy)-f(x,y)的值），当该方向与梯度的方向一致时梯度方向也就是方向导数最大的方向，方向导数的值就等于梯度的模。 （参见网址：210.31.100.100/gdsx/?p=61&a=view&r=219) 有一个疑问是

1010 一元多项式求导 (25分) 设计函数求一元多项式的导数。（注：x​n​​（n为整数）的一阶导数为nx​n−1​​。） 输入格式： 每个测试输入包含 1 个测试用例，即给出正整数 n 的值。 输出格式： 以与输入相同的格式输出导数多项式非零项的系数和指数。数字间以空格分隔，但结尾不能有多余空格。注意“零多项式”的指数和系数都是 0，但是表示为 0 0。 输入样例： 3 4 -5 2 6 1 -2 0 输出样例： 12 3 -10 1 6 0 实现代码： # include <stdio.h> int main ( ) { int a , b ; int c ; scanf ( "%d %d" , & a , & b ) ; if ( b == 0 ) printf ( "0 0" ) ; else printf ( "%d %d" , a * b , b - 1 ) ; while ( 1 ) { c = getchar ( ) ; if ( c == ' ' ) { scanf ( " %d %d" , & a , & b ) ; if ( b == 0 ) ; else printf ( " %d %d" , a * b , b - 1 ) ; } if ( c < 32 ) break ; } return 0 ; } 来源： CSDN 作者： JHBYHGVYT

一个最简单的例子：f(x,y)=x+y 那么全微分df=dx+dy 因为这个f(x,y)对x和y都是线性的，所以df=dx+dy对大的x和y变化也成立。 将x和y方向分开看，x方向每增加dx=1（y不变），f(x,y)增加df=1；y方向每增加dy=1（x不变），f(x,y)也增加df=1； 如果x和y同时增加1（dx=1，dy=1），f(x,y)增加dx+dy=2。 对以上函数f(x,y)，当x和y按1:1变化时，f(x,y)增长最快。 如果换个函数，f(x,y)=2x+y，那么当x和y按2:1变化时，f(x,y)增长最快。 梯度表示f(x,y)增长最快的方向。与梯度相反的方向就是函数减小最快的方向。 反过来说，沿垂直于梯度方向，f(x,y)变化最小（即没有变化）。 于是，在<x0,y0>的梯度正交于过该点的等高线。 方向导数是说，对于方程z=f(x,y)，当<x,y>从<x0,y0>沿指定方向增加单位向量长度时，f(x,y)增加多少。 当指定方向与梯度不重合时，函数变化就没有沿梯度方向变化大。 来源： https://www.cnblogs.com/byeyear/p/3702553.html

一阶函数求导： 二阶函数求导： y=x²的 导数 为y'=2x，二阶导数即y'=2x的导数为y''=2 来源： CSDN 作者： wun123 链接： https://blog.csdn.net/wun123/article/details/103984155