抽象代数

作者 | 何通木 来源 | 知乎 大家好，我是来自清华大学数学系的准大四学生何通木。学了三年现代数学，我想把自己的一些感悟记录下来。回头看这三年，觉得走了很多弯路、做了很多意义不大的事情，想来是跟学长、老师们的深层次沟通少了，所以想用剖析自己的经历、优缺点的方式，向大家展示一个天分普通的学生的本科学习历程，希望后来人能够更好地利用这三年时间。 对于不想从头看到尾的同学，可以根据目录挑选想看的部分，也可以只看第八节：修习顺序建议。以下观点仅为个人观点，欢迎大家讨论！ 目录 一、指导思想 二、最基本的语言：数分、线代、抽代、拓扑、流形 三、启发性的直观：黎曼曲面、微分拓扑、微分几何 四、大一统的理论：代数拓扑、代数几何 五、辅助性的工具：同调代数、交换代数 六、数学的皇后：代数数论 七、准备丘赛 八、修习顺序建议 九、附录：课程大纲 一、指导思想：广度优先 为什么我是大三结束的时候来写这篇建议呢，因为到了大四大家已经要开始准备自己那一个小方向的毕业论文了，前三年才是基础数学的基础性学习阶段。老师们都说，在本科时候要多学点东西；丘成桐先生也经常说，数学家至少要精通两个方向，才有可能发现不同方向的联系，才能做出大成就。“发现不同学科的联系”是我逐渐领悟到的努力目标，其本质是更好地理解数学，同时也是把冗余的东西缩并起来，化归到自己原有的知识体系中。 所以这篇建议的（来源于我的）局限性在于

下载链接 This spectacularly clear introduction to abstract algebra is is designed to make the study of all required topics and the reading and writing of proofs both accessible and enjoyable for readers encountering the subject for the first time. Number Theory. Groups. Commutative Rings. Modules. Algebras. Principal Idea Domains. Group Theory II. Polynomials In Several Variables. For anyone interested in learning abstract algebra. 来源： CSDN 作者： thompson_wang 链接： https://blog.csdn.net/Jinyindao243052/article/details/104219236

如何学习全同态密码 ** 本文由陈智罡博士撰写。 自从微信公众号里发了我在2015年写的博文“ 给博士生的话 ”后，许多研究生问如何学习全同态加密，以及全同态加密的必看的三篇文章是什么。在这里为大家统一答复。 学习全同态加密需要三部分知识： 数学基础，格密码基础，全同态加密 。 许多研究生在学习全同态加密时，以为只是学习全同态加密，所以看第一篇文章时，从入门直接到放弃。 这是因为任何知识都需要其它的知识作为基础，而全同态加密属于公钥密码学，所以首先它是一个加密算法，然后具有同态属性。 因此，必须熟悉格加密算法，以及相关的数学知识。下面我们分别说说这三部分。 **数学基础** 因为目前全同态加密都是构建在格密码算法之上的，所以格密码需要哪些数学知识，以及全同态加密本身需要哪些数学知识就构成了整个学习所需的数学基础。 格密码需要哪些数学基础呢？ 主要需要线性代数和抽象代数的基础。线性代数一般理工科都学过，例如矩阵，行列式等计算，向量空间的基等。格加密算法里的计算都是矩阵行列式计算。 抽象代数估计不是数学专业的，有可能没学过。抽象代数里的群、环、域等知识非常重要，尤其是环，是格加密的数学基础。抽象代数中一般还会涉及到数论一些知识，也在全同态加密中会使用，例如模计算等。 初学者可以看：An Introduction to Mathematical Cryptography 补充相关数学知识

　　在一般人的印象中，数学就是用来计算的，这种说法笼统讲也没有错，因为大部分的数学应用都是为了得到某个值。但如果深入到数学对象这个角度，计算有时并不是主角。最简单的例子就是大家熟悉的平面几何，它很多时候只是在研究点线之间的“关系”。代数学刚开始被用作计算的符号表示，但随着其使用范围的扩大，人们发现它还可以表示各种各样的“关系”。在集合论中，我们已经看到过“关系”的精确定义，那么这里我开始对它的深入讨论。“关系”存在于非常多的应用模型中，它们之间在本质有着非常类似的结构， 抽象代数 就是研究这些结构的科学。 　　故事还得从解方程说起，说到一元二次方程，想必大家不会忘记那个韦达定理。韦达率先将简洁的代数符号引入到公式的表达中，并给出了二次到四次方程解的代数式表示。你可能不知道，任意一元三次、四次方程解其实也是有完整的公式的，它们早在欧洲中世纪末期就被完全解决了。但奇怪的是，一元五次方程或更高次的方程，人们怎么努力都无法找到它们的根式解。正如“三大作图难题”一样，大家刚开始还是以为我们只是没有找到正确的方法，却从未想过它们根本是作不出来的！ 　　五次方程的解一直拖到了十九世纪，拉格朗日首先发现了置换在方程解的问题中的关键作用，年轻的阿贝尔（Abel）沿着这条路证明了：五次方程并无一般性的根式解。而同样年轻的伽罗瓦则走得更远，它首先提出了群的概念，并彻底给出了方程有根式解的充要条件

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