插值法

昨天和今天学习了《Computer Vision：Algorithms and Applications》中第二章“Image formation”前半部分，主要是如何表示2D、3D图像中的点、线、面等，以及如何用公式推导出2D图形的几何变换，如位移、旋转、放缩、仿射变换、投射等，如下图所示： 一、图像旋转方法简介 其中的图像旋转是一种常用的数字图像处理技术。由于旋转后图像像素点坐标不再是整数，所以旋转后必须对新的像素点灰度值进行插值运算。目前常用的方法有最近邻插值法、线性插值法和样条插值法。文献介绍，最近邻法速度快，方法简单，但生成图像效果较差；样条插值法计算精度高，效果好，但计算复杂，速度较慢；线性插值法（E.g. 双线性插值法）效果较好，运行时间较短。另外，实现赋值的方法分为正向映射法和反向映射法：正向映射法是指，从原始图像坐标出发，计算出在旋转图像上坐标，然后将原始图像该坐标的灰度值赋给对应旋转图像该坐标点；反向映射法则反之。 本文将分别采用基于最近邻取值的正向映射法、基于最近邻取值的反向映射法、基于双线性插值的反向映射法实现图像旋转，并对比三种方法的效果。 二、本文方法 1. 基于最近邻取值的正向映射法 这种方法最简单，也最直观，先考虑图像旋转原理： 以顺时针旋转为例来堆到旋转变换公式。如下图所示。 旋转前： x 0 =rcosb ； y 0 =rsinb 旋转 a

克里金法是通过一组具有 z 值的分散点生成估计表面的高级地统计过程。与插值工具集中的其他插值方法不同，选择用于生成输出表面的最佳估算方法之前，有效使用 克里金法 工具涉及 z 值表示的现象的空间行为的交互研究。 什么是克里金法？ IDW （反距离加权法）和 样条函数法 插 值工具被称为确定性插值方法，因为这些方法直接基于周围的测量值或确定生成表面的平滑度的指定数学公式。第二类插值方法由地统计方法（如克里金法）组成， 该方法基于包含自相关（即，测量点之间的统计关系）的统计模型。因此，地统计方法不仅具有产生预测表面的功能，而且能够对预测的确定性或准确性提供某种度 量。 克里金法假定采样点之间的距离或方向可以反映可用于说明表面变化的空间相关性。 克里金法 工 具可将数学函数与指定数量的点或指定半径内的所有点进行拟合以确定每个位置的输出值。克里金法是一个多步过程；它包括数据的探索性统计分析、变异函数建模 和创建表面，还包括研究方差表面。当您了解数据中存在空间相关距离或方向偏差后，便会认为克里金法是最适合的方法。该方法通常用在土壤科学和地质中。 克里金法公式 由于克里金法可对周围的测量值进行加权以得出未测量位置的预测，因此它与反距离权重法类似。这两种插值器的常用公式均由数据的加权总和组成： 其中： Z(s i ) = 第 i 个位置处的测量值 λ i = 第 i 个位置处的测量值的未知权重

朗格朗日插值法的定义 原理 一般地，若已知[ ]在互不相同 n+1 个点[ ]处的函数值[ ]( 即该函数过[ ] 这n+1个点），则可以考虑构造一个过这n+1 个点的、次数不超过n的多项式[ ] ，使其满足： [ ] 要估计任一点ξ，ξ≠xi,i=0,1,2,...,n,则可以用Pn（ξ）的值作为准确值f(ξ)的近似值，此方法叫做“插值法”。 称式（*）为插值条件（准则），含xi(i=0,1,...,n)的最小区间[a,b]，其中a=min{x0,x1,...,xn}，b=max{x0,x1,...,xn}。 满足插值条件的、次数不超过n的多项式是存在而且是唯一的。 定义 对某个多项式函数，已知有给定的k + 1个取值点： [ ] 假设任意两个不同的x都互不相同，那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为： 其中每个 为拉格朗日基本多项式（或称插值基函数），其表达式为： 例子 例如：当n=4时，上面的公式可简化为： 这是一个过4个点的唯一的三次多项式。 个人体会 拉格朗日插值法用于补充缺失值，原理就是过N个点肯定会有一个多项式能满足条件，多项式次数最高是N-1（百度百科中的定义以N+1个数为样本，其实是一样的）。设多项式的每一项的x为（x0，x1……xN），则代入每一个点，就能得到多项式系数，也就能得到多项式。 个人感觉这种插值方法不会丢失数据信息

n n n 个拥有不同横坐标的点可以确定一个 n − 1 n-1 n − 1 次多项式 q ( x ) q(x) q ( x ) ，假设已知点的横坐标构成集合 S S S （该集合满足 ∣ S ∣ ≥ n |S|\geq n ∣ S ∣ ≥ n ），并已知这些点的函数值 { q ( i ) } i ∈ S \{q(i)\}_{i\in S} { q ( i ) } i ∈ S ​ . 我们可计算任意一点 x x x 在 q ( x ) q(x) q ( x ) 上的函数值。 q ( x ) q(x) q ( x ) 可以看成已知点的函数值按某种权重加和而成，而权重系数由 x x x 和已知点的横坐标确定，与已知点的函数值无关。设 S S S 中一个点的横坐标为 i i i ，该点的权重系数定义为拉格朗日系数 Δ i , S ( x ) = ∏ j ∈ S , j ≠ i x − j i − j \Delta_{i,S}(x)=\prod\limits_{j\in S,j\neq i}\frac{x-j}{i-j} Δ i , S ​ ( x ) = j ∈ S , j  ​ = i ∏ ​ i − j x − j ​ ，所以该点为 q ( x ) q(x) q ( x ) 贡献的值为 q ( i ) ⋅ Δ i , S ( x ) q(i)\cdot\Delta_{i,S}(x)

pyhton_使用插值法填充缺失值 # 라이브러리를 임포트합니다. import pandas as pd import numpy as np ​ # 날짜를 만듭니다. time_index = pd . date_range ( "01/01/2010" , periods = 5 , freq = "M" ) ​ # 设置索引 dataframe = pd . DataFrame ( index = time_index ) ​ # 创建带确实数据的特征 dataframe [ "Sales" ] = [ 1.0 , 2.0 , np . nan , np . nan , 5.0 ] ​ dataframe Sales 2010 - 01 - 31 1.0 2010 - 02 - 28 2.0 2010 - 03 - 31 NaN 2010 - 04 - 30 NaN 2010 - 05 - 31 5.0 插值 # 对缺失数据进行插值 dataframe . interpolate ( ) Sales 2010 - 01 - 31 1.0 2010 - 02 - 28 2.0 2010 - 03 - 31 3.0 2010 - 04 - 30 4.0 2010 - 05 - 31 5.0 向前填充 # 使用前面数据进行替换 向前填充 dataframe . ffill (

目录 1 使用SIR模型进行疫情的仿真 1.1 SIR模型的介绍 1.2 SIR模型的工作原理 1.3 使用Matlab对新冠肺炎疫情进行模拟 1.4 SIR模型的优缺点分析与总结 2 使用插值法观察疫情初期是否有瞒报漏报现象 2.1 插值法的概念介绍 2.2 插值法的方法简介 2.3 使用分段三次埃尔米特插值观察疫情数据 2.4 总结 3 展望 目前，由武汉新型冠状病毒引起的全国肺炎疫情依旧处于肆虐爆发的时期，截止2月4日，全国累计确诊新型肺炎24324例，累计死亡490例，目前防治形势依旧严峻。自疫情爆发以来，除却一线医生以及生物医学专家在前线的战斗，后方不少专家大神也利用专业的数学模型进行疫情的建模仿真预测。作为刚入坑不久的小白，本人使用一些较为简单的数学模型，结合自己的一些思考，尝试解决提出的问题。 1 使用SIR模型进行疫情的仿真 自疫情爆发以来，多地政府迅速响应，采取封城、隔离措施，那么这些政策的有效性究竟有多大呢？本节中我主要来用相应的模型来进行论证。 1.1 SIR模型的介绍 首先来介绍一下SIR模型，SIR模型是是一种传播模型，是信息传播过程的抽象描述，广泛地应用于传染病传播模型之中。要理解SIR模型，关键点如下： 首先，模型中把传染病流行范围内的人群分成三类：S类，易感者（Susceptible），指未得病者，但缺乏免疫能力，与感病者接触后容易受到感染；I类

代码实现如下： float lagrange_result ( float x [ ] , float y [ ] , float x0 , int n ) { float L = 0 ; float t = 1 ; for ( int k = 0 ; k < n ; k ++ ) { t = 1 ; for ( int i = 0 ; i < n ; i ++ ) { if ( i != k ) { t = t * ( ( x0 - x [ i ] ) / ( x [ k ] - x [ i ] ) ) ; } } L = L + t * y [ k ] ; } return L ; } 优点是推导简单明了易懂，缺点计算麻烦，在增加或者删除节点时需要对整个进行重新计算。 来源： CSDN 作者： Allen_928 链接： https://blog.csdn.net/qq_43104187/article/details/103974770

拉格朗日插值入门 由小学知识可知，n个点(x_i,y_i)可以唯一地确定一个多项式 现在，给定n个点，请你确定这个多项式，并将k代入求值 求出的值对998244353取模 Input 第一行两个正整数n,k，含义如题 接下来n行，每行两个正整数x_i,y_i含义如题。n≤2000,xi,yi,k≤998244353 Output 一个整数表示答案 Sample Input 3 100 1 4 2 9 3 16 Sample Output 10201 //样例一中的三个点确定的多项式是f(x)=x^2+2x+1，将100代入求值得到10201 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int mod=998244353; int x[2010],y[2010],a=1,b=0; int powmod(int a,int b) { int ans=1; while(b) { if(b&1)ans=1ll*ans*a%mod; a=1ll*a*a%mod; b>>=1; } return ans; } int main() { int n,k; scanf("%d%d",&n,&k); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",x+i,y+i); for(int i=1;i<=n;i++) { int

缩小图像（或称为下采样（subsampled）或降采样（downsampled））的主要目的有两个：1、使得图像符合显示区域的大小；2、生成对应图像的缩略图。 放大图像（或称为上采样（upsampling）或图像插值（interpolating））的主要目的是放大原图像,从而可以显示在更高分辨率的显示设备上。对图像的缩放操作并不能带来更多关于该图像的信息, 因此图像的质量将不可避免地受到影响。然而，确实有一些缩放方法能够增加图像的信息，从而使得缩放后的图像质量超过原图质量的。 下采样原理：对于一幅图像I尺寸为M*N，对其进行s倍下采样，即得到(M/s)*(N/s)尺寸的得分辨率图像，当然s应该是M和N的公约数才行，如果考虑的是矩阵形式的图像，就是把原始图像s*s窗口内的图像变成一个像素，这个像素点的值就是窗口内所有像素的均值： 上采样原理：图像放大几乎都是采用内插值方法，即在原有图像像素的基础上在像素点之间采用合适的插值算法插入新的元素。 无论缩放图像（下采样）还是放大图像（上采样），采样方式有很多种。如最近邻插值，双线性插值，均值插值，中值插值等方法。在AlexNet中就使用了较合适的插值方法。各种插值方法都有各自的优缺点。 常用的插值方法 1、最邻近元法 　　这是最简单的一种插值方法，不需要计算，在待求象素的四邻象素中，将距离待求象素最近的邻象素灰度赋给待求象素。设i+u, j

在最近的复习中，我复习三种常用的查找算法，它们分别是: 1 线性查找 2 二分查找 3 插值法 4 斐波那契查找 线性查找 首先我们进行线性查找的讨论，对于线性查找，我们所做的操作就遍历数组同时逐一比对找出相匹配的元素，具体代码如下 public int search(int[] arr,int value) { for(int i=0;i<arr.length;i++) { if(arr[i]==value) { return i; } } return -1;s } 又上述代码我们不难理解，线性查找就是遍历数组的同时逐一比对数组的值和要查找的值，如果相同则就返回对应的数组下标 二分查找 对于二分查找，我们首先计算mid的值，在此演示中，我们设置的mid值为(left+right)/2,如果要搜索的值大于数组下标为mid的值，则就将left的值设置为mid+1,继续遍历，如果要插入的值小于数组下标为mid的值，则就将right的值设置为mid-1,继续遍历，重复上述操作，直到找到对应的数组的下标为止，当发生left>right时，则说明数组中并没有要搜索的值，此时我们返回-1并结束循环。 public static int binarySearch(int[] arr,int left,int right,int findVal) { if(left>right) {