Chapter 2 Convex Sets

仿射集 Affine Sets

直线：
$x_1 \not= x_2 \in R^n \quad \theta \in R$
$y=\theta x_1 + (1-\theta)x_2 = x_2 + \theta(x_1-x_2)$
线段：
$\theta \in R ,\; \theta \in [0,1]$
$y=\theta x_1 + (1-\theta)x_2$

仿射集：一个集合C是仿射集,若 $\forall x_1,x_2 \in C$ , $x_1$ 与 $x_2$ 的直线也在集合内。
直线是仿射集，但线段不是。
整个二维空间是一个仿射集，二维空间当中的一个正方形不是仿射集。

仿射组合

复杂化的定义：
设 $x_1...x_n \in C,\quad \theta_1,...\theta_k \in R, \quad \theta_1+...+\theta_k=1$
仿射组合为： $\theta_1x_1+...+\theta_kx_k$

$\theta_1x_1+...+\theta_kx_k \in C$

有仿射集 $C$ ， $x_1,x_2,x_3 \in C \quad \theta_1,\theta_2,\theta_3 \in R,\quad \theta_1+\theta_2+\theta_3=1$
已知：
$\frac{\theta_1}{\theta_1+\theta_2}x_1 + \frac{\theta_2}{\theta_1+\theta_2}x_2 \in C$

$(\theta_1+\theta_2)\left( \frac{\theta_1}{\theta_1+\theta_2}x_1 + \frac{\theta_2}{\theta_1+\theta_2}x_2 \right) + (1-\theta_1-\theta_2)x_3 \in C$
所以：
$\theta_1x_1 + \theta_2x_2 + \theta_3x_3 = 1\quad \theta_3 = 1-\theta_1-\theta_2$

仿射集的性质

$x_1,x_2 \in C$ , $C$ 是仿射集，那么 $\theta x_1 + (1-\theta)x_2 \in C$
有一类C
$\alpha x_1 + \beta x_2 \in C\quad \alpha,\beta \in R$

$V=C-x_0=\lbrace x-x_0 | x \in C \rbrace \quad \forall x_0 \in C$
$V$ 与 $C$ 相关的子空间

֤ $\forall v_1,v_2 \in R \quad \forall \alpha,\beta \in R \Rightarrow \alpha v_1 + \beta v_2 \in V$

$\alpha(v_1+x_0)+\beta(v_2+x_0)+(1-\alpha-\beta)x_0 \in C$
$\Rightarrow \alpha v_1 + \beta v_2 + x_0 \in C$
$\Rightarrow \alpha v_1 + \beta v_2 \in V$

线性方程组的解集是仿射集

$C=\lbrace x| Ax=b \rbrace\quad A \in R^{m*n} \quad b\in R^m \quad x\in R^n$
֤:
$\forall x_1,x_2 \in C \quad Ax_1=b \quad Ax_2 = b$
$\theta \in R \quad$ $\theta x_1+(1-\theta)x_2 \in^{?} C$
$A(\theta x_1+(1-\theta)x_2) \in^? b$
$=\theta A x_1 + (1-\theta)Ax_2$

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