一、起因
一道题引发的疑问（摘自《复习全书》），为什么使用了麦克劳林展开式，但却代入x=1和-1的值？想来想去，自己并不能准确地解释泰勒展开。
于是需要思考以下问题：什么是展开点、被展开点？二者有什么关系？泰勒展开在这里起了什么作用？为什么要用它？
二、概念理解
- 定义及作用：摘自《高等数学》同济七版。
对于复杂函数，为便于研究，希望用一些简单函数来近似表达。而多项式函数，只需要对自变量进行有限次加、减、乘算术运算，就可求出函数值，所以用多项式近似表达函数。
这个说明我还是不太理解，什么是复杂函数？想了想，这里应该是相比较而言的，比如指数函数 e^x 的运算就比幂函数复杂（其实e就是个很复杂的计算，比如它就是来自于极限或是级数的，扯远了）。
什么叫做有限次算术运算？算术运算是指四则运算，也就是加减乘除，像开方、求对数等等，就是更为复杂的运算。有限次是出于研究效率考虑的，比如求对数也许会有很多位小数。
什么叫做近似表达？就是多项式函数和原来的函数，是有误差的。
泰勒展开，本质上是，用一个多项式函数，去估计或拟合一个复杂函数的过程。
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带配亚诺余项的展开
x_0为展开点，x为被展开点，也就是说，用x0处的泰勒展开，去拟合其邻域范围内（x在x0附近）的某复杂函数的值。反之也可理解为，一个复杂函数 f(x) 的值，用其附近的展开点x0的多项式值去拟合。 -
余项更为精确的展开：
注意，这个 ξ 介于 x0 和 x 间，具体是 x0 < ξ < x 还是 x< ξ <x0，要看被展开点在展开点的左侧右侧。反正，夹在中间。
三、问题思考
进而产生的问题是：能否拟合？拟合误差如何？
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首先，能否拟合，涉及到拟合函数是否在该点存在函数值，也即泰勒级数的敛散性问题。
指路链接：《使用泰勒公式进行估算时，在不同点展开的区别和意义是?》
https://www.zhihu.com/question/23224838
如果可以拟合，那么拟合程度和泰勒展开的阶数有关，阶数越多，对该函数做的修正就越多，就越接近此点的函数值。 -
其次，是否可以用同一个展开点，去拟合任意一个点的函数值？
不一定，看这两个点的距离。有时要依据被展开点的值，去选择展开点，不一定都在0处展开（大部分情况是，因为好算也好出题）。
（1）根据定义，拟合的是 x0 的某邻域内的任意 x 。这个邻域多大，不知道。但说明了 x 在 x0 附近。
（2）这里产生的误差，是在 x→x0 时比 (x→x0)^n 高阶的无穷小。无穷小意味着，x 要趋近 x0，至少要靠近，才能使误差更小。
（3）设想一个极端情况，比如在 x=0 处展开，去拟合 x→∞ 处的函数值，那这个误差还是无穷小吗？（我也回答不了。）但这种情况的误差可能会大于一定值，可能已经超出了研究所能接受的范围，那么这个估计值也没太大意义了。
四、解题
再次看这道题，一般一阶和二阶用中值定理多些，求三阶导也就是在说 试试泰勒吧 ！
给了 -1 和 1 的函数值，提醒 这里是两个被展开点 ！
那么展开后如何消去一阶导和函数值呢？给了0处的一阶导数值，提醒 在这里了展开 ！
而 -1 和 1 是相反数，平方项可相消！
五、小结
看到高阶导（三阶及以上），试试泰勒展开。
展开点不一定等于被展开点，但需要在被展开点附近，以保证可以拟合及较小的误差。
注意观察题目，每个条件都有用啊。
来源：https://blog.csdn.net/weixin_42031518/article/details/98086668