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期望 \(dp\) 概述 做一件事情成功： \(p\) ，失败： \(\overline{p} = 1-p\) 。 和性： \(E[x+y] = E[x] + E[y]\) 期望的意义就是对于做一件事情，期望多少次这件事情可以做成功。 P1291 [SHOI2002]百事世界杯之旅 题目描述 “……在2002年6月之前购买的百事任何饮料的瓶盖上都会有一个百事球星的名字。只要凑齐所有百事球星的名字，就可参加百事世界杯之旅的抽奖活动，获得球星背包，随声听，更克赴日韩观看世界杯。还不赶快行动！” 你关上电视，心想：假设有n个不同的球星名字，每个名字出现的概率相同，平均需要买几瓶饮料才能凑齐所有的名字呢？ 题解 首先定义转移状态 \(f[i]\) 为收集到 \(i\) 个不同的球星的期望要买多少个。则 \(f[i]\) 这个状态可以从两个状态转移过来，一种是对于 \(f[i - 1]\) 这种状态买了不同的一个球星，另外一种就是 \(f[i]\) ，但是买的和原来的一样。 所以我们可以粗略的得到以下的转移方程： \[ f[i] = f[i - 1] \frac {n - (i - 1)}{n} + f[i] \frac {i}{n} \] 但是我们会非常遗憾地发现，上面这个式子当中的概率总和 \(P_S = \frac {n - (i -1)} {n} + \frac {i}{n} =