泰勒

来源： CSDN 作者： genghaihua 链接： https://blog.csdn.net/genghaihua/article/details/103872455

2020张宇1000题·数一·刷题记录 第一篇 高等数学 第1章 极限、连续 二、无穷小比阶(1.47-1.63) 通过几种等价替换确定阶数， \(5>n+1>3\) ，卡正整数的值。 分母无理化之后有惊喜， \(tanx-sinx \sim {\frac{1}{2} }x^3\) 。 多个无穷小量共同作用，看阶数最小的那个。 正常等价替换或泰勒，展开原则，式子的和不能为0，阶数取x次数最低的那个。 ？？？为什么xlnx不是一阶无穷小？ \(xlnx=x[(1+x)-\dfrac{1}{2}(1+x)^2+o(x^2)]\sim x^?\) 原式时x的阶无穷小，故原式/x^k的极限存在。（而且一般不为0吧） \(\alpha'=cos\ x^2\sim o(x^0);\quad \beta'=2x\ tan\sqrt{x^2}\sim 2o(x^2);\quad \gamma'=\dfrac{1}{2\sqrt x}\ sin\ {\sqrt x}^3\sim \dfrac{1}{2}o(x^1);\) 错误做法： \(\lim \limits_{x \to 0}sinx(cosx-4)+3x\sim (x-\dfrac{1}{6}x^3)(1-4)+3x=\dfrac{1}{2}x^3\) ， 所以3阶无穷小 。 直接泰勒展开后（各展开两项）相乘相加，或者相乘后再泰勒展开

【高数】任意点的函数值，都可用同一点泰勒展开去估计吗？ 一、起因 二、概念理解 三、问题思考 四、解题 五、小结 一、起因 一道题引发的疑问（摘自《复习全书》），为什么使用了麦克劳林展开式，但却代入x=1和-1的值？想来想去，自己并不能准确地解释泰勒展开。 于是需要思考以下问题：什么是展开点、被展开点？二者有什么关系？泰勒展开在这里起了什么作用？为什么要用它？ 二、概念理解 定义及作用：摘自《高等数学》同济七版。 对于复杂函数，为便于研究，希望用一些简单函数来近似表达。而多项式函数，只需要对自变量进行有限次加、减、乘算术运算，就可求出函数值，所以用多项式近似表达函数。 这个说明我还是不太理解，什么是复杂函数？想了想，这里应该是相比较而言的，比如指数函数 e^x 的运算就比幂函数复杂（其实e就是个很复杂的计算，比如它就是来自于极限或是级数的，扯远了）。 什么叫做有限次算术运算？算术运算是指四则运算，也就是加减乘除，像开方、求对数等等，就是更为复杂的运算。有限次是出于研究效率考虑的，比如求对数也许会有很多位小数。 什么叫做 近似表达 ？就是多项式函数和原来的函数，是 有误差 的。 泰勒展开 ，本质上是， 用一个多项式函数，去估计或拟合一个复杂函数的过程 。 带配亚诺余项的展开 x_0为展开点，x为被展开点 ，也就是说，用x0处的泰勒展开，去拟合其邻域范围内（ x在x0附近