最近有一位同学问了一道平面几何题，条件很随意，结论很显然，但是证明却很难，思考了一天终于想到这么个方法，留以纪念。
题目：
在
中，边、、满足，点为边任意上一点，连接。（1）试证明:; （2）为线段上任意一点，连接、、，试证明：。
证明：
（1）严谨地说，其实三角形不一定是锐角三角形，即存在如下图的两种情况（这里边的情形类似，不作讨论）。
（a）当是锐角三角形时，作边上的高，垂足为。不失一般性,假设在点的右侧，即线段上，那么有
,
，
又因为,所以，结合上式得到。且,所以，得证。
（b）当是钝角三角形时，作边上的高，垂足为，交边延长线于点，那么仍然有
，
，
同情形（a）,可知因为,所以，结合上式得到。且,所以，得证。
综上可知，成立。
（2）考虑到点和点的任意性，尝试固定，此时点的轨迹是以、为焦点，长轴长的椭圆的部分弧。如下图，作此椭圆交边、
于、点，显然由于椭圆性质可知，。
而固定长度得到的点的轨迹则是以点为圆心，点为半径的圆，同样作出此圆，并设其于边及边或延长线交于点和点，基于以下2个结论：
（a）为椭圆和圆的一个交点，且椭圆上半弧和圆至多有两个交点（根据椭圆方程和圆方程可知）；
（b）（由第一小问）；
接下来考虑椭圆和圆的另外一个交点,（注，当椭圆和圆相切时与重合）；
（a）P不落在内，那么（证明类似第一小问）；
（b）P不落在内且圆A与线段有交点，同上可知；
（c）P不落在内且圆A与边交点在延长线上，则点既在圆内又在椭圆内，则圆与椭圆的另外一个交点在椭圆的下半弧上，此时仍然有（证明类似第一小问）成立；
综上得证。
来源：https://www.cnblogs.com/giftellart/p/3671233.html