椭圆焦点三角形

最近有一位同学问了一道平面几何题，条件很随意，结论很显然，但是证明却很难，思考了一天终于想到这么个方法，留以纪念。 题目： 在 中，边 、 、 满足 ，点 为边 任意上一点，连接 。（1）试证明: ; （2） 为线段 上任意一点，连接 、 、 ，试证明： 。 证明： （1）严谨地说，其实三角形不一定是锐角三角形，即存在如下图的两种情况（这里边 的情形类似，不作讨论）。 （a）当 是锐角三角形时，作边 上的高，垂足为 。不失一般性,假设 在点 的右侧，即线段 上，那么有 , ， 又因为 ,所以 ，结合上式得到 。且 ,所以 ，得证。 （b）当 是钝角三角形时，作边 上的高，垂足为 ，交边 延长线于 点，那么仍然有 ， ， 同情形（a）,可知因为 ,所以 ，结合上式得到 。且 ,所以 ，得证。 综上可知， 成立。 （2）考虑到 点和 点的任意性，尝试固定 ，此时 点的轨迹是以 、 为焦点， 长轴长的椭圆的部分弧。如下图，作此椭圆交边 、 于 、 点，显然由于椭圆性质可知， 。 而固定 长度得到的 点的轨迹则是以 点为圆心， 点为半径的圆，同样作出此圆，并设其于边 及边 或 延长线交于点 和点 ，基于以下2个结论： （a） 为椭圆和圆的一个交点，且椭圆上半弧和圆至多有两个交点（根据椭圆方程和圆方程可知）； （b） （由第一小问）； 接下来考虑椭圆和圆的另外一个交点 ,（注