叶子结点

1 引言 2 二叉搜索树 2.1 定义 2.2 性质 2.3 节点结构 2.4 创建二叉搜索树 2.5 查找 2.6 插入 2.7 删除 3 平衡二叉树 3.1 定义 3.2 平衡因子 3.3 节点结构 3.4 左旋与右旋 3.5 插入 1 引言   二叉树是数据结构中的重点与难点，也是应用较为广泛的一类数据结构。二叉树的基础知识在之前的数据结构与算法——二叉树基础中已经详细介绍。本篇文章将着重介绍两类二叉树，二叉搜索树和平衡二叉树。 2 二叉搜索树 2.1 定义   二叉搜索树又称二叉查找树，亦称为二叉排序树。设x为二叉查找树中的一个节点，x节点包含关键字key，节点x的key值记为key[x]。如果y是x的左子树中的一个节点，则key[y] <= key[x]；如果y是x的右子树的一个节点，则key[y] >= key[x]。 2.2 性质   （1）若左子树不空，则左子树上所有节点的值均小于它的根节点的值；   （2）若右子树不空，则右子树上所有节点的值均大于它的根节点的值；   （3）左、右子树也分别为二叉搜索树；   例如：图2.2.1所示的二叉树为一棵二叉搜索树。 图2.2.1   例如：图2.2.2所示不是一棵二叉搜索树，因为节点40的左孩子节点值为44，不满足二叉搜索树的定义。 图2.2.2 2.3 节点结构   二叉树的节点结构通常包含三部分，其中有：左孩子的指针

---恢复内容开始--- - 这只是一篇草稿，还没排版，之前一直想给自己写一个文章的模板，一直还没写，所以估计写的比较慢，所以先放出来文章，后面再来填坑吧。 这篇文章的初衷是看到面试问题有问到红黑树，甚至有手撕红黑树代码的？可怕，红黑树的讨论情况很多，一不小心就绕进去，真让人犯难，而且网上的文章各有各的说法，不少人理解甚至是错误的。 - 红黑树：红黑树是一种二叉平衡树，二叉查找树，它牛逼之处就在于它足够的平衡，可以达到高度至多2lg(n+1),所以在java中的treemap和c++ set, multiset, map, multimap就使用的红黑树。 - 红黑树的性质：1. 结点分为红色和黑色两种 2.根节点是黑色的 3.每个叶子结点(nil)是黑色的(就是空代表了黑色) 4.不存在父子都是红色的情况(连续两个红色) 5.任意孩子到根节点的路径上的黑色数量都是相等的(important) - 本文将解释 以下内容： 1. 红黑树的插入(简单的插入)与调整(调整平衡)。 2. 红黑树的删除(也带有调整,使其便于调整平衡)与调整(调整平衡)。 ### 插入 #### 插入方式： 　　先考虑插入什么颜色的结点,这里需要说明颜色只是我们用于保证平衡的一种方法，与数据无关。 因为插入黑色结点除非在根节点，否则一定会导致一个分支上的所有子分支都多了一个黑，如此不满足性质5(简称 路黑同)

1、冒泡排序 最简单的一种排序算法。假设长度为n的数组arr，要按照从小到大排序。则冒泡排序的具体过程可以描述为：首先从数组的第一个元素开始到数组最后一个元素为止，对数组中相邻的两个元素进行比较，如果位于数组左端的元素大于数组右端的元素，则交换这两个元素在数组中的位置，此时数组最右端的元素即为该数组中所有元素的最大值。接着对该数组剩下的n-1个元素进行冒泡排序，直到整个数组有序排列。算法的时间复杂度为O(n^2)。 // 冒泡排序 void BubbleSort(int arr[], int length) { for (int i = 0; i < length; i++) { for (int j = 0; j < length - i - 1; j++) { if (arr[j] > arr[j + 1]) { int temp; temp = arr[j + 1]; arr[j + 1] = arr[j]; arr[j] = temp; } } } } 假设我们现在排序ar[]={1,2,3,4,5,6,7,8,10,9}这组数据，按照上面的排序方式，第一趟排序后将10和9交换已经有序，接下来的8趟排序就是多余的，什么也没做。所以我们可以在交换的地方加一个标记，如果那一趟排序没有交换元素，说明这组数据已经有序，不用再继续下去。 void BubbleSort(int arr

B树 即二叉搜索树： 1.所有非叶子结点至多拥有两个儿子（Left和Right）； 2.所有结点存储一个关键字； 3.非叶子结点的左指针指向小于其关键字的子树，右指针指向大于其关键字的子树； 如： B树的搜索，从根结点开始，如果查询的关键字与结点的关键字相等，那么就命中； 否则，如果查询关键字比结点关键字小，就进入左儿子；如果比结点关键字大，就进入 右儿子；如果左儿子或右儿子的指针为空，则报告找不到相应的关键字； 如果B树的所有非叶子结点的左右子树的结点数目均保持差不多（平衡），那么B树 的搜索性能逼近二分查找；但它比连续内存空间的二分查找的优点是，改变B树结构 （插入与删除结点）不需要移动大段的内存数据，甚至通常是常数开销； 如： 但B树在经过多次插入与删除后，有可能导致不同的结构： 右边也是一个B树，但它的搜索性能已经是线性的了；同样的关键字集合有可能导致不同的 树结构索引；所以，使用B树还要考虑尽可能让B树保持左图的结构，和避免右图的结构，也就 是所谓的“平衡”问题； 实际使用的B树都是在原B树的基础上加上平衡算法，即“平衡二叉树”；如何保持B树 结点分布均匀的平衡算法是平衡二叉树的关键；平衡算法是一种在B树中插入和删除结点的 策略； B-树 是一种多路搜索树（并不是二叉的）： 1.定义任意非叶子结点最多只有M个儿子；且M>2； 2.根结点的儿子数为[2, M]； 3

树 树的概念 树（英语：tree）是一种抽象数据类型(ADT)，用来模拟具有树状结构性质的数据集合。它是由n（n>=0）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“ 树 ”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点： 当n=0时,为空树，在任何一棵空树中： 有且仅有一个特定的称为根(Root)的节点 当n>1时: 除根节点外，其余节点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1、T2、…、Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树(SubTree)。 每个节点有零个或多个子节点； 没有父节点的节点称为根节点； 每一个非根节点有且只有一个父节点； 除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树； 树的术语 节点的度 ：一个节点含有的子节点的个数称为该节点的度。 B的子节点为D、E、F, 因此，节点B的度为3。 树的度 ：一棵树中，最大的节点的度称为树的度。 最大的节点的度为B节点的度，因此该树的度为3。 叶节点 或 终端节点 ：度为零的节点。 不能往下再分的节点：K、J、F、L、O、P。 父亲节点 或 父节点 ：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点。 如：K的父节点为I。 孩子节点或子节点 ：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点。 B的孩子节点或子节点为：D、E、F。 兄弟节点

上午题 一、计算机组成原理与结构体系 数据的表示 进制转换 R进制转十进制 : 按权展开法 例如二进制 10100 = $1\times2^4+1\times2^2$ = 20 例如七进制 604 = $6\times7^2 + 4\times7^0$ = 298 十进制转R进制 : 短除法 例如20转二进制 2|20 余 0 2|10 余 0 2|5 余1 2|2 余0 2|1 余1 ​ 0 余数从下往上就是10100 二进制转八进制与十六进制 转八进制,从右到左三位一段 例如 10 001 110 = 2 1 6 转十六进制,从右到左四位一段 例如1000 1110 = 8 E 原码反码补码移码 正数 1 负数 1 正1加负1 (1-1) 原码 0000 0001 1000 0001 1000 0010 反码 0000 0001 1111 1110 1111 1111 补码 0000 0001 1111 1111 0000 0000 移码 1000 0001 0111 1111 1000 0000 原码: 1B(字节byte) = 8bit 如果用一个字节表示1,会先转成二进制,再在右边补7个0,其中最右边的0是符号位,0代表正数,1代表负数 即1= 0 000 0001 -1= 1 000 0001 当1+(-1)时,原码1000 0010,值是-2,值是不对的

本文将详细介绍数据结构中的一些常用的搜索树结构，包括：B树、B-树、B+树、B*树；分别介绍这些树结构的定义、特征、搜索方法、性能等情况，最后给出了一个简要的总结。 一、 B 树 B树即二叉搜索树，它的特征是： 1.所有非叶子结点至多拥有两个儿子（Left和Right）； 2.所有结点存储一个关键字； 3.非叶子结点的左指针指向小于其关键字的子树，右指针指向大于其关键字的子树； 一颗典型的B树图如下所示： B 树的搜索： 从根结点开始，如果查询的关键字与结点的关键字相等，那么就命中；否则，如果查询关键字比结点关键字小，就进入左儿子；如果比结点关键字大，就进入右儿子；如果左儿子或右儿子的指针为空，则报告找不到相应的关键字； B 树的性能： 如果B树的所有非叶子结点的左右子树的结点数目均保持差不多（平衡），那么B树的搜索性能逼近二分查找；但它比连续内存空间的二分查找的优点是，改变B树结构（插入与删除结点）不需要移动大段的内存数据，甚至通常是常数开销，如下图所示： 但B树在经过多次插入与删除后，有可能导致不同的结构，如下图： 右边也是一个B树，但它的搜索性能已经是线性的了；同样的关键字集合有可能导致不同的树结构索引；所以，使用B树还要考虑尽可能让B树保持左图的结构，和避免右图的结构，也就是所谓的“平衡”问题； 实际使用的B树都是在原B树的基础上加上平衡算法，即“平衡二叉树”

B树和B+树 标签（空格分隔）： 数据结构 参考/转载 : https://www.cnblogs.com/nullzx 1. B树 1.1 B树的定义 B树也称为B-树, 它是一颗多路平衡的查找树, 当我们描述一颗B树的时候需要指定他的阶数, 阶数表示了一个节点最多有多少个孩子节点, 一般用 m 表示. 当 m 取2的时候, 就是我们常见的二叉搜索树. 一颗 m 阶的B树定义如下: 每个节点最多有m-1个关键字. 根节点最少有1个关键字. 非根节点最少有Math.ceil(m/2)-1个关键字. 每个根节点中的关键字都按照从小到大的顺序排列, 每个关键字的左子树中的所有关键字都小于它, 而右子树中的所有关键字节点都大于它. 所有叶子节点都位于同一层, 或者说根节点到每个叶子节点的长度都相同. 上图是一个阶数为4的B树, 在实际应用中的B树的阶数都非常大(通常大于100), 所以即使存储大量的数据, B树的高度依然会比较小, 每个节点中存储了关键字(Key)和关键字对应的数据(data), 以及孩子节点的指针. 我们将一个key何其对应的data成为一个记录, 但为了方便描述, 除非特别说明, 后续文中就采用key来代替(key,value)键值对这个整体. 在数据库中我们将B树(和B+树)作为索引结构, 可以加快查询速度, 此时B树中的key就代表键,

用优先队列式分支限界法解决0-1背包问题的算法思想： 1.分支限界法常以广度优先或最小耗费优先（最大效益优先）方式搜索问题的解空间树， 对于0-1背包问题的解空间树是一个颗子集树。 2.在分支限界法中有一个活结点表，活结点表中的每个活结点只有一次机会成为扩展结点，一旦成为 扩展结点就一次性产生所有儿子结点，在这些儿子结点中，导致不可行解或导致非最优解的儿子 结点被舍弃，其余儿子结点被加入到活结点表中。对于0-1背包问题中的每个活结点只有两个儿子 结点，分别表示对物品i的选取和对物品i的舍去；在判断儿子结点是否能加入到活结点表中，有两个 函数需要满足，第一个称为约束函数，判断能否满足背包容量约束，第二个称为限界函数，判断 是否可能有最优解。 3.为了尽快找到0-1背包问题的解，每次选取下一个活结点成为扩展结点的判断依据是当前情况下 最有可能找到最优解的下一个结点。因此，每次选择扩展结点的方法：当前情况下，在活结点表中 选择活结点的上界uprofit（通过限界函数Bound求出）最大的活结点成为当前的扩展结点。 这一过程一直持续到找到所需的解或活结点表为空时为止。这个过程体现出分支限界法以“最大 效益优先”方式进行。 4.为了在活结点表中选择拥有最大的上界uprofit的活结点，在活结点表上实现优先队列。 5.通过上述第3点，可以求出0-1背包问题的最优值。为了求出0

当你第一次学习编码时，大部分人都是将数组作为主要数据结构来学习。 之后，你将会学习到哈希表。如果你是计算机专业的，你肯定需要选修一门数据结构的课程。上课时，你又会学习到链表，队列和栈等数据结构。这些都被统称为线性的数据结构，因为它们在逻辑上都有起点和终点。 当你开始学习树和图的数据结构时，你会觉得它是如此的混乱。因为它的存储方式不是线性的，它们都有自己特定的方式存储数据。 定义 树是众所周知的非线性数据结构。它们不以线性方式存储数据。他们按层次组织数据。 树的定义 树（Tree）是n(n>=0)个结点的有限集。n=0时称为空树。 在任意一颗非空树中： (1) 有且仅有一个 特定的称为根（Root）的结点。 (2)当n>1时，其余结点可分为m(m>0)个 互不相交的有限集 T1、T2、.....、Tm,其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树（SubTree）。 下图就符合树的定义： 其中根结点A有两个子树： 我们硬盘的文件系统就是很经典的树形结构。 “树”它具有以下的特点： ①每个节点有零个或多个子节点； ②没有父节点的节点称为根节点； ③每一个非根节点有且只有一个父节点； ④除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树； 树( tree )是被称为结点( node )的实体的集合。结点通过边( edge )连接。每个结点都包含值或数据( value/date )