叶子结点

树的介绍 1. 树的定义 树是一种数据结构，它是由n（n>=1）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。 把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点： (01) 每个节点有零个或多个子节点； (02) 没有父节点的节点称为根节点； (03) 每一个非根节点有且只有一个父节点； (04) 除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树。 2. 树的基本术语 若一个结点有子树，那么该结点称为子树根的"双亲"，子树的根是该结点的"孩子"。有相同双亲的结点互为"兄弟"。一个结点的所有子树上的任何结点都是该结点的后裔。从根结点到某个结点的路径上的所有结点都是该结点的祖先。 结点的度 ：结点拥有的子树的数目。 叶子 ：度为零的结点。 分支结点 ：度不为零的结点。 树的度 ：树中结点的最大的度。 层次 ：根结点的层次为1，其余结点的层次等于该结点的双亲结点的层次加1。 树的高度 ：树中结点的最大层次。 无序树 ：如果树中结点的各子树之间的次序是不重要的，可以交换位置。 有序树 ：如果树中结点的各子树之间的次序是重要的, 不可以交换位置。 森林 ：0个或多个不相交的树组成。对森林加上一个根，森林即成为树；删去根，树即成为森林。 二叉树的介绍 1. 二叉树的定义 二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。它有五种基本形态：二叉树可以是空集

考察的知识点主要在于树的数据结构（BST，AVL）、遍历方式（前序，中序，后序，层次）、遍历算法（DFS，BFS，回溯）以及遍历时借助的数据结构如队列和栈。由于树本身就是一个递归定义的结构，所以在递归求解问题时，要善于将问题转化成合适的子问题，思考清楚子问题的形式、递归的出口、父问题与子问题的联系。 以下这些问题难度都不太大，很多都是一次过，比上次链表专题的思维难度小多了。 难度 题目 知识点 04. 重建二叉树 依据前序和中序遍历重建 ， 递归 ★★ 17. 树的子结构 递归 18. 二叉树的镜像 简单递归 22. 从上往下打印二叉树 bfs ， Queue的使用 23. 判断是否为二叉搜索树的后序遍历序列 BST ， 递归 ★ 24. 二叉树中和为某一值的路径 dfs ， 回溯 ， Collections.sort() ★★ 26. 二叉搜索树与双向链表 递归 中序遍历 ★ 38. 二叉树的深度 递归 39. 平衡二叉树 平衡二叉树 递归 57. 二叉树的下一个结点 中序遍历 循环 回溯后的情况 58. 对称的二叉树 递归 可转化为非递归 59. 按之字形顺序打印二叉树 Stack 层次遍历变形 60. 把二叉树打印成多行 Queue LinkedList 层次遍历 ★★ 61. 序列化二叉树 递归 string.split() string.equals 62.

M阶B+树的定义： 任意非叶子结点最多有M个子节点；且M>2； 除根结点以外的非叶子结点至少有 M/2个子节点； 根结点至少有2个子节点； 除根节点外每个结点存放至少M/2和至多M个关键字；（至少2个关键字） 非叶子结点的子树指针与关键字个数相同； 所有结点的关键字：K[1], K[2], …, K[M]；且K[i] < K[i+1]； 非叶子结点的子树指针P[i]，指向关键字值属于[K[i], K[i+1])的子树； 所有叶子结点位于同一层； 为所有叶子结点增加一个链指针； 所有关键字都在叶子结点出现； 　　B+ 树是对B树的一种变形树，它与B树的差异在于： 有k个子结点的结点必然有k个关键码； 非叶结点仅具有索引作用，跟记录有关的信息均存放在叶结点中。 树的所有叶结点构成一个有序链表，可以按照关键码排序的次序遍历全部记录。 　　如下图，是一个B+树: 　　　　　　　　 　　下图是B+树的插入动画： 　　　　 　　代码如下： 　　BPlusTree定义如下： /** * B+树的定义： * 1.任意非叶子结点最多有M个子节点；且M>2；M为B+树的阶数 * 2.除根结点以外的非叶子结点至少有 (M+1)/2个子节点； * 3.根结点至少有2个子节点； * 4.除根节点外每个结点存放至少（M-1）/2和至多M-1个关键字；（至少1个关键字） * 5

一、树的定义和基本术语 1. 树是n（n>=0）个结点的有限集。 2. 在一棵非空树中，有且仅有唯一的根（root）结点，除根结点外其余结点可分为m（m>0）个互不相交的有限集，它们本身 也是一棵树，称为树的子树（subtree）。 3. 基本术语 （1）结点的度（degree）：结点所拥有的子树的数目； （2）叶子结点（leaf node）：度为0的结点； （3）分支结点（branch node）：度不为0的结点； （4）孩子（child）：结点的子树的根称为结点的孩子； （5）双亲（parent）：结点是其孩子的双亲； （6）祖先（forefather）：从树根到双亲的所有结点称为该结点的祖先； （7）子孙（progeny）：以结点为根的子树的所有结点称为该结点的子孙； （8）兄弟（sibling）：同一父母的所有孩子互称兄弟； （9）层次（level）：树根为第一层，孩子为第二层，以此类推； （10）堂兄弟（cousin）：双亲在同一层的结点互称堂兄弟； （11 ）深度（depth） ： 树中结点的最大层次称为树的深度； （12）有序树（ordered tree）：结点各子树从左至右是有秩序的树称为有序树； （13）无序树（unordered tree）：结点各子树没有秩序的树称为无序树； （14）森林（forest）：m (m≥0) 棵互不相交的树的集合。 二、二叉树 定义

堆排序 什么是堆？ 堆是具有以下性质的完全二叉树： 每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值，称为大顶堆 或者每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值，称为小顶堆。 如下图所示: 那么话又说回来了，什么是完全二叉树呢？ 要想知道什么是完全二叉树，首先得知道什么满二叉树。 满二叉树 :高度为h，并且由 2^h-1个结点的二叉树，被称为满二叉树，其实不难看出，满二叉树的结点的度要么为0（叶子结点），要么为2（非叶子结点） 完全二叉树 :一棵二叉树中，只有最下面两层结点的度可以小于2，并且最下一层的叶结点集中在靠左的若干位置上。这样的二叉树称为完全二叉树。 特点:叶子结点只能出现在最下层和次下层，且最下层的叶子结点集中在树的左部。显然，一棵满二叉树必定是一棵完全二叉树，而完全二叉树未必是满二叉树。 堆与一维数组的映射关系 同时，我们对堆中的结点按层进行编号，将这种逻辑结构映射到数组中就是下面这个样子 简单的说对于二叉树中的任意一个节点，假设它的下标为i，那么它左孩子的节点在数组中的下标就是2i+1,而其左孩子节点的下标就是2i+2 因此对于大顶堆来说满足一下的条件: 大顶堆：arr[i] >= arr[2i+1] && arr[i] >= arr[2i+2] 对于小顶堆来说满足 小顶堆：arr[i] <= arr[2i+1] && arr[i] <= arr[2i+2] 来源：

多路查找树(muitl-way search tree) ，其每一个节点的孩子数可以多于两个，且每一个节点处可以存储多个元素。主要有4中特殊形式。 一、2-3树 定义：其中的每一个节点都具有两个孩子（称为2节点）或者三个孩子（称为3节点）。 并且2-3树中所有的叶子都在同一层上。 一个2节点包含一个元素和两个孩子（或者没有孩子）。 一个3节点包含一小一大两个元素和三个孩子（或者没有孩子）。 1. 2-3树的插入实现 1）对于空树，插入一个2节点即可； 2）插入节点到一个2节点的叶子上。由于本身就只有一个元素，所以只需要将其升级为3节点即可。 3）插入节点到一个3节点的叶子上。因为3节点本身最大容量，因此需要拆分，且将树中两元素或者插入元素的三者中选择其一向上移动一层。 三种情况： 升级父节点 升级根节点 增加树高度 2. 2-3树的删除实现 1）所删元素位于一个3节点的叶子节点上，直接删除，不会影响树结构。 2）所删元素位于一个2节点上，直接删除，破坏树结构。 分为四种情况： 此节点双亲也是2节点，且拥有一个3节点的右孩子； 此节点的双亲是2节点，它右孩子也是2节点； 此节点的双亲是3节点； 当前树是一个满二叉树，降低树高； 3）所删元素位于非叶子的分支节点。此时按树中序遍历得到此元素的前驱或后续元素，补位。 分支节点是2节点 分支节点是3节点 二、2-3-4树 2-3-4树是2

树、森林与二叉树的转换 1、树转换为二叉树 由于二叉树是有序的，为了避免混淆，对于无序树，我们约定树中的每个结点的孩子结点按从左到右的顺序进行编号。 将树转换成二叉树的步骤是： （1）加线。就是在所有兄弟结点之间加一条连线； （2）抹线。就是对树中的每个结点，只保留他与第一个孩子结点之间的连线，删除它与其它孩子结点之间的连线； （3）旋转。就是以树的根结点为轴心，将整棵树顺时针旋转一定角度，使之结构层次分明。 2、森林转换为二叉树 森林是由若干棵树组成，可以将森林中的每棵树的根结点看作是兄弟，由于每棵树都可以转换为二叉树，所以森林也可以转换为二叉树。 将森林转换为二叉树的步骤是： （1）先把每棵树转换为二叉树； （2）第一棵二叉树不动，从第二棵二叉树开始， 依次把后一棵二叉树的根结点作为前一棵二叉树的根结点的右孩子结点，用线连接起来。 当所有的二叉树连接起来后得到的二叉树就是由森林转换得到的二叉树。 3、二叉树转换为树 二叉树转换为树是树转换为二叉树的逆过程，其步骤是： （1）若某结点的左孩子结点存在，将左孩子结点的右孩子结点、右孩子结点的右孩子结点……都作为该结点的孩子结点， 将该结点与这些右孩子结点用线连接起来 ； （2）删除原二叉树中所有结点与其右孩子结点的连线； （3）整理（1）和（2）两步得到的树，使之结构层次分明。 什么是哈夫曼树？（最优二叉树） 一. 目的

二叉树的概念： 二叉树是度不大于2的有序树，二叉树的每个结点最多有两个子树，分别称为“左子树”和“右子树”。二叉树还常被用于实现二叉查找树和二叉堆。 二叉树的性质： 1. 在二叉树的第 i 层上最多有 2 i-1 个结点（ i ≥ 1 ） 2. 深度为d的二叉树最多有2^d-1个结点（d ≥ 1） 3. 对于任意一个二叉树，如果度为0的结点个数为n个，度为2的结点为m个，则n = m + 1。 4. 含n个结点的完全二叉树深度为 ⌊ log2n ⌋ +1 。 5. 若对含 n 个结点的完全二叉树从上到下且从左至右进行1至n的编号，则对完全二叉树中编号为i的结点： (1) 若i=1，则该结点是二叉树的根，无双亲，否则，编号为 ⌊ i/2 ⌋ 的结点为其双亲结点； (2) 若2i>n，则该结点无左孩子，否则，编号为2i 的结点为其左孩子结点； (3) 若2i+1>n，则该结点无右孩子，否则，编号为2i+1 的结点为其右孩子结点。 二叉树的二叉链表存储结构的定义及基本操作的实现： //库函数头文件包含 #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <malloc.h> #include <queue> using namespace std; //函数状态码的定义 #define TRUE 1 #define FALSE 0

欢迎登录北京林业大学OJ系统 http://www.bjfuacm.com 268基于二叉链表的二叉树叶子结点到根结点的路径的求解 描述 设二叉树中每个结点的元素均为一个字符，按先序遍历的顺序建立二叉链表，编写算法求出每个叶子结点到根结点的路径。 输入 多组数据。每组数据一行，为二叉树的先序序列（序列中元素为‘0’时，表示该结点为空）。当输入只有一个“0”时，输入结束。 输出 每组数据输出n行（n为叶子结点的个数），每行为一个叶子结点到根节点的路径（按照叶子结点从左到右的顺序）。 输入样例 1 abcd00e00f00ig00h00 abd00e00cf00g00 0 输出样例 1 dcba ecba fba gia hia dba eba fca gca # include <iostream> using namespace std ; char path [ 100 ] ; typedef struct BiTNode { char data ; struct BiTNode * lchild , * rchild ; } BiTNode , * BiTree ; void CreateBiTree ( BiTree & T , char S [ ] , int & i ) { if ( S [ i ] == '0' ) T = NULL ; else { T = new

描述 设二叉树中每个结点的元素均为一个字符，按先序遍历的顺序建立二叉链表，编写算法求出每个叶子结点到根结点的路径。 输入 多组数据。每组数据一行，为二叉树的先序序列（序列中元素为‘0’时，表示该结点为空）。当输入只有一个“0”时，输入结束。 输出 每组数据输出n行（n为叶子结点的个数），每行为一个叶子结点到根节点的路径（按照叶子结点从左到右的顺序）。 样例输入1 复制 abcd00e00f00ig00h00 abd00e00cf00g00 0 样例输出1 dcba ecba fba gia hia dba eba fca gca #include<iostream> using namespace std; #define MAX 500 typedef struct binode { char data; binode *lchild,*rchild; } *bitree; void create(bitree &T) { char ch; cin>>ch; if(ch=='0') T=NULL; else { T=new binode; T->data=ch; create(T->lchild); create(T->rchild); } } void longestpath(bitree &T,char path[],int len) { if(T) { if(T-