矩阵乘法

1.ceil(x)：向上取整 floor(x)：向下取整 2.round(x,y)：保留小数点后y位 3.sign(x)：判断正负，若为正，则为1；若为负，则为-1；若为0，则为0 4.conj(x)：取x的共轭 abs(x)：取模 real(x)：取x的实部 imag(x)：取x的虚部 angle(x)：求复数矩阵相位角的弧度值 5.flipu(x)：矩阵的第一行与最后一行进行互换 flipdim(x,dim)：dim为1，表示每一列进行逆序排列；dim为2，表示每一行进行逆序排列 fliplr(x)：实现矩阵沿垂直轴左右翻转 6.mean(x)：mean函数是一个求数组平均值的函数 mean(x,dim)：dim为1，求每一列的平均值；dim为2，求每一行的平均值 7.length(x)：length(x)为数列的长度,即它里面有多少个元素.如果x0是矩阵的话,比方说M行N列,那么length返回M和N这两个数的最大值 8.[b0,ind]=sort(x)：按列将矩阵排序，然后找出他们的位置 [b0,ind]=sort(x,2)：按行将矩阵排序，然后找出他们的位置 9.dot(a,b)：向量的点乘，ps：只能用于向量，不可以用于矩阵 cross(a,b)：向量的×乘 10.[m,n]=size(a)：求矩阵的行列，行为m，列为n 11.可以用;或者回车换行输入命令 12

< > (1) Numpy 库 Numpy中的矩阵函数 np.diagonal(A) 返回由A中的主对角元素组成的一维矩阵 np.diagonal(A,1) 返回由A中的第一副对角元素组成的一维矩阵 np.trace(A) 返回A中的主对角元素的和 np.argmax(A,axis= 0) 在0轴上，最小的数 np.identity(3) 返回3维的单位矩阵 np.dot(a,b) 常用的： 若a,b均为行矩阵，则返回其内积（对应元素相乘，最后再相加，返回值为标量） 若a,b均为n维矩阵，则返回a,b的矩阵的乘法 若a为n维，b为行矩阵，则返回矩阵中的每一个元素，为a矩阵的某行的各个元素与b矩阵的对应元素相乘，再相加。（类似于矩阵的乘法，不过不是行、列乘的关系，而是行行乘） np.inner(a,b) 常用的 若a,b均为行矩阵，则返回其内积（对应元素相乘，最后再相加，返回值为标量） 若a,b均为n维矩阵，则返回矩阵中的每一个元素，为a矩阵的某行的各个元素与b矩阵某行的对应元素相乘，再相加得到的（类似于矩阵的乘法，不过不是行、列乘的关系，而是行行乘） np.outer(a,b) 返回a,b中所有元素对的乘积组成的矩阵 线性代数模块 from numpy.linalg import inv,solve 矩阵的逆 inv(A) 求解Ax = b方程中的x solve(A,b)

假设有个小车在道路上向右侧匀速运动，我们在左侧安装了一个测量小车距离和速度传感器，传感器每1秒测一次小车的位置s和速度v，如下图所示。 我们用向量xt来表示当前小车的状态，该向量也是最终的输出结果，被称作状态向量（state vector）： 由于测量误差的存在，传感器无法直接获取小车位置的真值，只能获取在真值附近的一个近似值，可以假设测量值在真值附近服从高斯分布。 如下图所示，测量值分布在红色区域的左侧或右侧，真值则在红色区域的波峰处。 由于是第一次测量，没有小车的历史信息，我们认为小车在1秒时的状态x与测量值z相等，表示如下： 公式中的1表示第1秒。 预测是卡尔曼滤波器中很重要的一步，这一步相当于使用历史信息对未来的位置进行推测。 根据第1秒小车的位置和速度，我们可以推测第2秒时，小车所在的位置应该如下图所示。 会发现，图中红色区域的范围变大了，这是因为预测时加入了速度估计的噪声，是一个放大不确定性的过程。 根据小车第一秒的状态进行预测，得到预测的状态xpre： 其中，Pre是Prediction的简称；时间间隔为1秒，所以预测位置为距离+速度*1；由于小车做的是匀速运动，因此速度保持不变。 在第2秒时，传感器对小车的位置做了一次观测，我们认为小车在第2秒时观测值为z2，用向量表示第2秒时的观测结果为： 很显然，第二次观测的结果也是存在误差的

快速幂 一． 前言 经历了自闭的多校生活，想着重新回顾一些理解不是很清楚的知识点，于是就写了第一篇文章。思路非常混乱……，如有问题请dalao们指正。 二．快速幂 幂运算是一种常见的运算，最容易想到的累乘法的复杂度为O(n)，但很多时候这并不够快，所以出现了快速幂运算。 （为什么不用内置函数pow？）有时候幂运算结果特别大，超出了longlong的范围，这时候答案会要求你取模，这时候用pow函数是肯定不行的。 快速幂运用了倍增的思想，用式子理解就是： b%2==0 a b = * b%2==1 利用这个特性，重复a=a 2 ，b=b/2，我们可以轻松的写出快速幂： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 int ksm(int a, int b) { int res = 1; while (b > 0) { if (b % 2 == 1) res *= a; b /= 2; a *= a; } return res; } 例如： res=1, a=3, b=5（初始状态） res=3, a=9, b=2（b=5为奇数，res*=a） res=3, a=81, b=1（b=2 为偶数，res不变） res=243，a=81*81，b=0（res*=a，退出循环，） 模板如下O(nlogn)： 1 2 3 4 5 int ksm( int a, int b, int

Fibonacci 题意：求斐波那契的第n项，0<=n<=1e9 思路：设f[n][2]为一个1*2的矩阵，表示斐波那契的第n项和第n+1项{fib[n],fib[n+1]}，那么求它的下一项就是乘一个2*2的矩阵 {01} {10}然后就是矩阵快速幂做就好了 #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; const int mod=1e4; #define ll long long void mul(int f[2],int a[2][2]) { int c[2]; memset(c,0,sizeof(c)); for(int j=0;j<2;j++) for(int k=0;k<2;k++) c[j]=(c[j]+(ll)f[k]*a[k][j])%mod; memcpy(f,c,sizeof(c)); } void mulself(int a[2][2]) { int c[2][2]; memset(c,0,sizeof(c)); for(int i=0;i<2;i++) for(int j=0;j<2;j++) for(int k=0;k<2;k++) c[i][j]=(c[i][j]+(ll)a[i][k]*a[k][j])

均值： 描述的是样本集合的中间点。 方差： 描述的是样本集合的各个样本点到均值的距离之平均，一般是用来描述一维数据的。 协方差： 是一种用来度量两个随机变量关系的统计量。 只能处理二维问题。 计算协方差需要计算均值。 如下式： 方差与协方差的关系 方差是用来度量单个变量 “ 自身变异”大小的总体参数，方差越大表明该变量的变异越大 协方差是用来度量两个变量之间 “协同变异”大小的总体参数，即二个变量相互影响大小的参数，协方差的绝对值越大，则二个变量相互影响越大。 协方差矩阵： 协方差矩阵能处理多维问题； 协方差矩阵是一个对称的矩阵，而且对角线是各个维度上的方差。 协方差矩阵计算的是不同维度之间的协方差，而不是不同样本之间的。 样本矩阵中若每行是一个样本，则每列为一个维度，所以计算协方差时要 按列计算均值 。 如果数据是3维，那么协方差矩阵是： 特征值与 特征向量 线性变化： 线性变换 (线性映射)是在作用于 两个向量空间之间的函数 ，它保持 向量加法和标量乘法 的运算，从一个向量空间变化到另一个向量空间。 实际上线性变换表现出来的就是一个矩阵 。 特征值和特征向量 是一体的概念： 对于一个给定的线性变换（矩阵A），它的特征向量 ξ 经过这个线性变换之后，得到的新向量仍然与原来的 ξ 保持在同一條直線上，但其长度也许會改变。一个特征向量的长度在该线性变换下缩放的比例(λ)称为其特征值

平时开发程序，免不了要对图像做各种变换处理。有的时候变换可能比较复杂，比如平移之后又旋转，旋转之后又平移，又缩放。 直接用公式计算，不但复杂，而且效率低下。这时可以借助变换矩阵和矩阵乘法，将多个变换合成一个。 最后只要用一个矩阵对每个点做一次处理就可以得到想要的结果。 另外，矩阵乘法一般有硬件支持，比如3D 图形加速卡，处理3D变换中的大量矩阵运算，比普通CPU 要快上1000倍。 下面是3类基本的2D图形变换。 平移： 设某点向x方向移动 dx, y方向移动 dy ,[x,y]为变换前坐标， [X,Y]为变换后坐标。 则 X = x+dx; Y = y+dy; 以矩阵表示： 1 0 0 [X, Y, 1] = [x, y, 1][ 0 1 0 ] ; dx dy 1 1 0 0 0 1 0 即平移变换矩阵。 dx dy 1 旋转： 旋转相比平移稍稍复杂： 设某点与原点连线和X轴夹角为b度，以原点为圆心，逆时针转过a度 , 原点与该点连线长度为R, [x,y]为变换前坐标， [X,Y]为变换后坐标。 x = Rcos(b) ; y = Rsin(b); X = Rcos(a+b) = Rcosacosb - Rsinasinb = xcosa - ysina; (合角公式) Y = Rsin(a+b) = Rsinacosb + Rcosasinb = xsina + ycosa

NumPy Numpy ：提供了一个在Python中做科学计算的基础库，重在数值计算，主要用于多维数组（矩阵）处理的库。用来存储和处理大型矩阵，比Python自身的嵌套列表结构要高效的多。本身是由C语言开发，是个很基础的扩展，Python其余的科学计算扩展大部分都是以此为基础。 高性能科学计算和数据分析的基础包 ndarray，多维数组（矩阵），具有矢量运算能力，快速、节省空间 矩阵运算，无需循环，可完成类似Matlab中的矢量运算 线性代数、随机数生成 使用以下语句导入 Numpy 库： import numpy as np NumPy 数组 创建数组 >>> a = np.array([1,2,3]) >>> b = np.array([(1.5,2,3), (4,5,6)], dtype = float) >>> c = np.array([[(1.5,2,3), (4,5,6)], [(3,2,1), (4,5,6)]], dtype = float) 初始化占位符 >>> np.zeros((3,4))# 创建值为0数组 >>> np.ones((2,3,4),dtype=np.int16)# 创建值为1数组 >>> d = np.arange(10,25,5)# 创建均匀间隔的数组（步进值） >>> np.linspace(0,2,9)# 创建均匀间隔的数组（样本数）

mul函数 mul函数，Z = mul(M, V)是表示矩阵M和向量V进行点乘，得到一个向量Z，这个向量Z就是对向量V进行矩阵变换后得到的值。 特别需要注意的是，例如normal是float3类型的，点乘的矩阵也要转换成float3x3。 float3 normal=mul((float3x3)UNITY_MATRIX_IT_MV,v.normal); 矩阵 内置的矩阵（float4x4）： 1、这里要特别说明一下UnityObjectToClipPos（v.vertex)） 方法，官方网站上说明，编写着色器脚本时，请始终使用UnityObjectToClipPos(v.vertex)而不是mul(UNITY_MATRIX_MVP,v.vertex)，因为所有内建的矩阵名字在Instanced Shader中都是被重定义过的，如果直接使用UNITY_MATRIX_MVP，会引入一个额外的矩阵乘法运算，所以推荐使用UnityObjectToClipPos / UnityObjectToViewPos函数，它们会把这一次额外的矩阵乘法优化为向量-矩阵乘法。 2、UNITY_MATRIX_IT_MV的使用场景，专门针对法线进行变换。但是为什么法线的变换和顶点不一样呢？ 之所以法线不能直接使用UNITY_MATRIX_MV进行变换，是因为法线是向量，具有方向，在进行空间变换的时候

/*** * glm中矩阵是行优先存储的，这不同于opengl默认的以列优先存储的方式？？，以下面矩阵mat为例 * 它是用四个行向量来模拟存储四个行：vec4 value[4]，其中 * value[0] = (1,0,0,0) = (m[0][0],m[0][1],m[0][2],m[0][3]) * value[1] = (0,1,0,0) = (m[1][0],m[1][1],m[1][2],m[1][3]) * value[2] = (0,0,1,0) = (m[2][0],m[2][1],m[2][2],m[2][3]) * value[3] = (1,1,1,1) = (m[3][0],m[3][1],m[3][2],m[3][3]) * 这个存储与opengl从直观看是不一样的，它的平移部分存储到了第四行，而不是第四列，与DX的写法一致 */ glm::mat4 mat = mat4( 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1 ); glm::vec4 v(1, 2, 3, 1); /*** * 矩阵与向量向乘规则，遵守opengl的谁在前谁是列向量的规则 * 矩阵在前则矩阵看成是四个列向量，向量在后则为一个行向量 * 向量在前则向量看成一个列向量，矩阵在后则视为四个行向量 */ /*** * 【矩阵与向量相乘