快速幂
一． 前言
经历了自闭的多校生活，想着重新回顾一些理解不是很清楚的知识点，于是就写了第一篇文章。思路非常混乱……，如有问题请dalao们指正。
二．快速幂
幂运算是一种常见的运算，最容易想到的累乘法的复杂度为O(n)，但很多时候这并不够快，所以出现了快速幂运算。
（为什么不用内置函数pow？）有时候幂运算结果特别大，超出了longlong的范围，这时候答案会要求你取模，这时候用pow函数是肯定不行的。
快速幂运用了倍增的思想，用式子理解就是：
b%2==0
ab =
* b%2==1
利用这个特性，重复a=a2，b=b/2，我们可以轻松的写出快速幂：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 |
int ksm(int a, int b) {
int res = 1; while (b > 0) {
if (b % 2 == 1) res *= a; b /= 2; a *= a; } return res; } |
例如：
res=1, a=3, b=5（初始状态）
res=3, a=9, b=2（b=5为奇数，res*=a）
res=3, a=81, b=1（b=2 为偶数，res不变）
res=243，a=81*81，b=0（res*=a，退出循环，）
模板如下O(nlogn)：
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1 2 3 4 5 |
int ksm(int a, int b,int mod){ int res=1; for(;b;b>>=1,a=a*a%mod)if(b&1)res=res*a%mod; return res; } |
三．矩阵快速幂
在矩阵快速幂之前，先了解下斐波拉契（Fibonacci）数列：
……
在这个数列中，从第三项开始，每一项都等于前两项之和。不难想出计算方法：
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1 2 3 4 |
int f(int k) { return k > 2 ? f(k - 1) + f(k - 2) : 1; } |
递归进行了大量重复计算，使用递推：
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1 2 3 4 5 6 7 8 |
int f(int k) { int a[k + 2]; a[1] = a[2] = 1; for (int i = 3; i <= k; i++) a[i] = a[i - 1] + a[i - 2]; return a[k]; } |
复杂度为O(n)，能否想出更好的方法，其实是有的！那么怎么使用快速幂才能计算呢？我们试着把斐波拉契转化为矩阵形式：
=* = *
这时候我们已经可以看出来了，实际上矩阵快速幂就是对矩阵进行快速幂计算
代码如下：
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 |
struct Matrix //用结构体储存矩阵 { long long mat[2][2]; }; Matrix mul_M(Matrix a, Matrix b, int mod) //定义矩阵乘法 { Matrix ret; for (int i = 0; i < 2; i++) for (int j = 0; j < 2; j++) { ret.mat[i][j] = 0; for (int k = 0; k < 2; k++) { ret.mat[i][j] += a.mat[i][k] * b.mat[k][j] % mod; if (ret.mat[i][j] >= mod) ret.mat[i][j] %= mod; } } return ret; } Matrix pow_M(Matrix a, int b, int mod) //快速幂 { Matrix ret; memset(ret.mat, 0, sizeof(ret.mat)); for (int i = 0; i < 2; i++) ret.mat[i][i] = 1; Matrix tmp = a; while (b) { if (b & 1) ret = mul_M(ret, tmp, mod); b >>= 1; tmp = mul_M(tmp, tmp, mod); } return ret; }
int f(int n) { Matrix sd = {1, 1, 1, 0}; //初始化矩阵 sd = pow_M(sd, n - 2, 1e9 + 7); return sd.mat[0][0] + sd.mat[0][1]; } |
四．十进制快速幂
我们来看看下面这道题：
给四个正整数，已知 ( i>=2 ) 计算
乍一看这不就是矩阵快速幂吗，别急还没给范围 ，，。
n这么大一定只能用字符串保存，那怎么模拟除2的操作呢 /汗 ，实际上快速幂用的是2进制的倍增，我们只需要使用十进制的倍增就可以很好的还原这个操作了。
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 |
struct Matrix //用结构体储存矩阵 { long long mat[2][2]; }; Matrix mul_M(Matrix a, Matrix b, long long mod) //定义矩阵乘法 { Matrix ret; for (int i = 0; i < 2; i++) for (int j = 0; j < 2; j++) { ret.mat[i][j] = 0; for (int k = 0; k < 2; k++) { ret.mat[i][j] += a.mat[i][k] * b.mat[k][j] % mod; if (ret.mat[i][j] >= mod) ret.mat[i][j] %= mod; } } return ret; } Matrix pow_M(Matrix a, int b, long long mod) //快速幂 { Matrix ret; memset(ret.mat, 0, sizeof(ret.mat)); for (int i = 0; i < 2; i++) ret.mat[i][i] = 1; Matrix tmp = a; while (b) { if (b & 1) ret = mul_M(ret, tmp, mod); b >>= 1; tmp = mul_M(tmp, tmp, mod); } return ret; }
int f(int x0, int x1, int a, int b, char n[1000010], long long MOD) { Matrix sd = {0, b, 1, a}; //初始化矩阵 Matrix ans = {1, 0, 0, 1}; for (int i = strlen(n) - 1; i >= 0; i--) { if (n[i] != '0') ans = mul_M(ans, pow_M(sd, n[i] - '0', MOD), MOD); sd = pow_M(sd, 10, MOD); } return (1ll * x0 * ans.mat[0][0] + 1ll * x1 * ans.mat[1][0]) % MOD; } |