二分图

所谓花，就是如下图所示的一个奇环： 本文中粗边代表现在的匹配边，细边代表该点的前驱（后文会讲解前驱是什么，现在只需要知道每个点和它的前驱在原图中一定是有边的）。 如图所示，一朵包含 \(2k+1\) 个点的花一定至多包含 \(k\) 条匹配边，于是总会剩下一个未匹配的点，上图中即为 \(1\) 号点。 那么我们可以发现，如果有另外一个点想要与花中的某个点 \(v\) 匹配，那么有两种情况：1、 \(v\) 是未匹配的点（即1号点），那么直接与 \(v\) 匹配即可。2、 \(v\) 是已经匹配的点，这时只要将花中的匹配状况修改，使得 \(v\) 变成未匹配的那个点即可。 综上所述，只要花中的点没有向外匹配，我们总是可以使得外部的一个点和花中任意一个点匹配，因此花的性质和点其实很相似。我们将花缩成一个点来处理，就可以解决出现奇环的问题。以上思想就是带花树算法的核心。 ==================总之分割一下好了================== 带花树算法的过程其实和 \(bfs\) 版本的匈牙利是很相似的，都是找出一个交错树，交错树可能长这样（注意每个蓝色点可能有多个橙色儿子，但是每个橙色点只能有一个蓝色儿子）： 其中1号点就是我们尝试增广的节点，在这里我们给每一个节点一个 \(type\) 值，若该点不在交错树中，它的 \(type\) 值为 \(0\) ，否则为 \

HDU 1150: http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1150 　　最小覆盖点 == 最大匹配数( 选取最少的点数，使这些点和所有的边都有关联——把所有的边的覆盖 ) 两台机器，有n和m个工作模式，起始工作模式都为0，现在有k件工作，第i件工作可分别在两个机器上用各自的模式工作，但换模式要重启，问重启的最小次数。 写的时候因为是找二分最大匹配的题目时找到写的，想到了二分上去，也知道是求最小覆盖点 == 最大匹配数，但不是很能理解，先把代码写了再说。 写的时候注意起始模式是0，所以换模式时把0的排除再外。（因为这个原因错了很多次） 一：邻接阵做法 代码 #include<iostream>using namespace std;int n,m,k;int map[105][105]; //记录X,Y对应点可否连接int vis[105]; //每次找增广路时对Y中点是否访问int dir[105]; //Y中点匹配的X中点的位置int find(int a){ int i; for(i=0;i<m;i++) { if(map[a][i]==1 && vis[i] == 0) { vis[i] = 1; if(dir[i] == -1 || find(dir[i])) { dir[i] = a; return 1; } } }

一.结论： 1.最大匹配。 2.最小点覆盖：用最少的点去覆盖掉所有的边。 最小点覆盖 = 最大匹配 。 3.最小边覆盖：用最少的边区覆盖掉所有的点，单独一个点可看作一条边。 最小边覆盖 = 结点数 - 最大匹配 。 4.最大独立集：选出尽可能多的点使得他们之间没有关系（没有边相连）。 最大独立集 = 结点数 - 最大匹配 。 5.最大团：选出尽可能多的点使得他们构成一个完全图。 最大团 = 补图的最大独立集 。 6.最小路径覆盖（有向图）：选出最少的路径，使得每个点恰好在一条路径上，单独一个点可看作一条边。 最小路径覆盖 = 结点数 - 最大匹配 。 二.证明： 1.最小点覆盖 = 最大匹配： König定理，不会。 2.最小边覆盖（ans） = 结点数（n） - 最大匹配（cnt） 证明：我们假设图中不存在边，那么每个点都要一条边去覆盖，所以总共要n条覆盖边。之后我们考虑原图中的边，利用Hungary()算法求出最大匹配数为cnt，这就表明了：有cnt个点，可以与其他点共用一条覆盖边，于是就可以除去cnt条覆盖边。所以最小边覆盖：ans = n - cnt 。 3.最大独立集（ans） = 结点数（n） - 最大匹配（cnt） 建图：如果u和v有关系，或者说有冲突，那么就在u和v之间连上边。 证明：最大独立集，即在在图中 删去尽可能少的点， 使得剩下的点互相独立，即没有边的存在

仔细思考了一下，发现自己还有许多弱项，网络流也是其中之一，而且只会写板子，需要补一补。 还有10天就GDOI了，要抓紧啊…… 注意：以下某些题没有写代码，只是口胡后看了题解发现差不多，不保证完全正确。 本专题的题单来自 https://www.cnblogs.com/xht37/p/10457051.html ，Orz神仙 二分图 洛谷P1402 酒店之王 把每个人拆成两个点放在中间，左边房子右边菜，跑最大流即可。 洛谷U64949 棋盘覆盖 黑白染色之后发现只能黑和白匹配，于是就是个二分图了，搞出最大匹配即可。 套路：黑白染色之后有可能会成为二分图。 洛谷U64970 車的放置 把行和列作为点，格子作为边，如果可以放就把对应的行列连起来，然后跑最大匹配。 这样的匹配显然满足所有车都不同行不同列。 套路：行列作为点，格子作为边。 洛谷P1129 [ZJOI2007]矩阵游戏 注意到一个性质：无论怎么换，同行的黑点仍然同行，同列的黑点仍然同列。 所以每行/列最多有一个黑点在对角线上。 那么和上一题一样的建图方法就可以做了。 洛谷P1963 [NOI2009]变换序列 显然在 \(D(i,T_i)\) 确定的情况下能与 \(i\) 匹配的 \(T_i\) 是常数级别的。 那么连一下二分图就可以得到一组解了。 用匈牙利算法，从后往前做，就可以字典序最小了。 UVA1194 Machine

Compressing Graphs and Indexes with Recursive Graph Bisection [SIGKDD' 16] Authors Abstract Intro. & Motiv. Algorithmic Aspect 定义图重排问题的优化目标 统一建模与新的优化目标 之前的一些近似算法 Compression-friendly Graph Reordering 算法框架：递归二分图 图二分方案 Experiments 数据集 压缩效果 重排后的邻接矩阵情况 Conclusion & Inspiration Authors 本文发表于2016年 SIGKDD 上，第一作者是来自卡耐基梅隆大学(CMU)的Lax Dhulipala。其与来自FaceBook的多人合作完成了本工作。 原文链接 Abstract 图重排 ( Graph reordering )，顾名思义就是把图的节点序号重新排列。图重排的意义是：通过重新排列，增强 图表示的结构局部性 。而 图表示的结构局部性 含义即邻接结构上相似的顶点，在线性排列映射得到的序号能够相近。 例如 ，原有节点集{1,2,3,4,5}，其中1和5全部都连接了2和3，图重排之后，原来编号为1和5的这两个点就会更加邻近。 很容易可以想到的是，图重排造成的图线性表示结构上结构局部性的提升，会进一步带来提升图和

【推荐】2019 Java 开发者跳槽指南.pdf(吐血整理) >>> 概述 在二分图中寻找最大匹配数的算法(如对二分图不熟悉,可以看下笔者的另一篇文章 二分图/二部图检测(动图&代码实现) ),即对一侧的每一个尚未匹配的顶点,不断寻找可以增广的交替路 交替路: 匹配边和非匹配边交替出现 增广路径: 从一侧的非匹配点终止于另一个非匹配点 匈牙利算法 思路 从左侧的一个非匹配点出发 从右向左的边,永远走匹配边 终止于另一个非匹配点,则有增广路径,最大匹配数加1 补充:左侧和右侧只是一种说法,等价于一侧和另一侧 二分图寻找最大匹配数 下图是一个二分图,将会通过给这个图寻找最大匹配数,来描述匈牙利算法寻找增广交替路的思路 补充:匹配后的点置为红色,匹配边也置为红色 从顶点0出发,到达顶点4,此时顶点0和顶点4都是非匹配点,则找到一条增广交替路,最大匹配数为1 从顶点1出发,从 右->左的边只走匹配边 ,所以走1->4->0,此时来到顶点0,还可以走到顶点6,顶点6又是一个非匹配点,则找到一条增广的交替路,将该交替路中的 匹配路变为非匹配路,非匹配路变为匹配路 ,并将顶点1和顶点6置为匹配点 此时的最大匹配数为2 从顶点2出发,依次走过:2->6->0->4->1->5,找到一条新的增广交替路,再进行一次变换,并将顶点2和顶点3置为匹配点 此时的最大匹配数为3 至此,所有的顶点都匹配到了

最小顶点覆盖：在二分图中寻找一个尽量小的点集，使图中每一条边至少有一个点在该点集中。 　　最小顶点覆盖 == 最大匹配。 　　反证法证明：假设当前存在一条两个端点都不在最小顶点覆盖点集中，那么这么光芒四射的边定可以增大最大匹配边集，与最大匹配矛盾，所以得证。 最小路径覆盖：在二分图中寻找一个尽量小的边集，使图中每一个点都是该边集中某条边的端点。 　　最小路径覆盖 == 顶点数 - 最大匹配。 　　证明：因为一条边最多可以包含两个顶点，所以我们选边的时候让这样的边尽量多，也就是说最大匹配的边集数目咯。剩下的点就只能一个边连上一个点到集合里啦。 最大独立集：在N个点中选出来一个最大点集，使这个点集中的任意两点之间都没有边。 　　最大独立集 == 顶点数 - 最大匹配。 　　证明：因为去掉最大匹配两端的顶点去掉以后，剩下的点肯定是独立集。我们再从每个匹配里面挑选出来一个点加入到独立集中，也是不会破坏原有独立集的独立性的。 来源： https://www.cnblogs.com/DeNeRATe/p/12015636.html

T1 popust (贪心 TimeLimit: 1000MS Memory Limit: 32768KB ​ 米尔科饿了如熊，偶然发现当地一家餐馆。餐厅提供 \(n\) 种餐，有一个有趣的定价政策：每种餐有两个指定的价格， \(A_i\) 和 \(B_i\) 。米尔科支付第一种餐只能用价格 \(A\) ，后面的则只能支付 \(B\) 价格。他知道一种餐只能订一次，但不知道自己要订几种，于是他想知道从 \(1\) 种到 \(N\) 种的最少的费用（其实他不在意到底吃哪一种）。请你帮他想一下。 输入 ： ​ 输入的第一行包含正整数 \(N(2≤N≤500000)\) ，餐厅提供的餐的种类数。 以下 \(N\) 行包含两个正整数， \(A_i\) 和 \(B_i\) \((1 ≤ Ai, Bi ≤ 1 000 000 000)\) ，表示第 \(i\) 种餐的两个价格。 输出 ： \(N\) 行，第 \(i\) 行表示恰好订 \(i\) 种餐的最低价格 input 3 10 5 9 3 10 5 output 9 13 18 input 2 100 1 1 100 output 1 2 input 5 1000000000 1000000000 1000000000 1000000000 1000000000 1000000000 1000000000 1000000000

一.学习二分图 1.了解并掌握二分图的判定方法： 双栈排序（NOIP2008提高） 关押罪犯（NOIP2010提高） 分组（BSOJ） 2.了解并掌握二分图的最大匹配求法： 匈牙利算法模板 信与信封问题（BSOJ） 连续攻击游戏（SCOI2010） 3.了解、掌握并证明二分图最小覆盖的求法： Machine Schedule Muddy Fields（POJ2226） 4.了解、掌握二分图的最大独立集： Air Raid（POJ1422） 来源： https://www.cnblogs.com/Neat-Foxes/p/11963796.html

km算法入门 https://www.cnblogs.com/logosG/p/logos.html 本文知识均由笔者自学，文章有错误之处请不吝指出。 笔者刷数模题的时候有一道题考到了“二分图最大权分配”，需要用到KM算法，但是书上对KM算法的介绍又臭又长，更何况有些同学“匈牙利算法”也没学过（由匈牙利数学家Edmonds提出），自然难以理解所谓的KM算法。本文旨在用通俗易懂的语言，向读者介绍匈牙利算法和KM算法。 一、匈牙利算法 匈牙利算法用于解决什么问题？ 匈牙利算法用于解决二分图的 最大匹配 问题。 什么是二分图？我们不妨来考虑这样一个问题，在一家公司里，有员工A,B,C，有三种工作a,b,c，如果员工和工作之间有线相连，则代表员工能胜任这份工作。 如图所示，员工A能胜任a,c工作，员工B能胜任a,b,c工作，而员工C只能胜任c工作。 上图就是所谓的“二分图”（请忽略图中箭头），简单的说，上图可划分为两个集合{员工}，{工作}，两个集合之间的元素可以相连，同一个集合内的元素不能相连。 下面请解决这样一个问题：请给出一个方案，让尽可能多的员工有 不同 的工作做。“匈牙利算法”的出现就是为了解决这个问题。 下面给出这个问题的解决方案：（读者看到这里可能会想，解决这个问题不是很简单吗？A→a,B→b，C→c不就好了？请注意：任何算法的给出都是为了 规整化 一个问题的解决步骤