动态规划

动态规划（ dynamic programming ）算法是解决多阶段决策过程最优化问题的一种常用方法，难度比较大，技巧性也很强。利用动态规划算法，可以优雅而高效地解决很多贪婪算法或分治算法不能解决的问题。动态规划算法的基本思想是：将待求解的问题分解成若干个相互联系的子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解；对于重复出现的子问题，只在第一次遇到的时候对它进行求解，并把答案保存起来，让以后再次遇到时直接引用答案，不必重新求解。动态规划算法将问题的解决方案视为一系列决策的结果，与贪婪算法不同的是，在贪婪算法中，每采用一次贪婪准则，便做出一个不可撤回的决策；而在动态规划算法中，还要考察每个最优决策序列中是否包含一个最优决策子序列，即问题是否具有最优子结构性质。 动态规划算法的有效性依赖于待求解问题本身具有的两个重要性质：最优子结构性质和子问题重叠性质。 1 、最优子结构性质。如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，我们就称该问题具有最优子结构性质（即满足最优化原理）。最优子结构性质为动态规划算法解决问题提供了重要线索。 2 、子问题重叠性质。子问题重叠性质是指在用递归算法自顶向下对问题进行求解时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题会被重复计算多次。动态规划算法正是利用了这种子问题的重叠性质，对每一个子问题只计算一次，然后将其计算结果保存在一个表格中

快速上手leetcode动态规划题 我现在是初学的状态，在此来记录我的刷题过程，便于以后复习巩固。 我leetcode从动态规划开始刷，语言用的java。 一.了解动态规划 我上网查了一下动态规划，了解到动态规划是“ 带有备忘录的递归 ”， 而大多数用来理解动态规划的例子都是 斐波那契数列 ,就是那个经典的递归式 f(i)=f(i-1)+f(i-2) ,f(1)=f(2)=1 那么我们就可以得到很多式子，比如求f(5): f(5)=f(4)+f(3); f(4)=f(3)+f(2); f(3)=f(2)+f(1); 然后我们就发现了重复的部分，在求f(5)和f(4)的时候都要求f(3),那么它们都要做一次f(3)的递归操作，来得到f(3)的值。 我想这是很不值得的，没必要同样的操作执行两遍。并且我们知道当f(n)的n比较大时，是很多重复的部分的，这也就意味着有很大的优化空间。 因此有了所谓的“ 备忘录 ”，也就是用一个 数组 来记录每个状态的结果，比如f(5)就是n为5时f(n)的状态。 这样的话，我们就可以在求f(n)的时候，先查看一下数组中是否记录了这一个状态的值，如果有，就直接从数组中拿，如果没有，就递归计算一下，再把这个值放到数组中去。这也是所谓的“ 以空间换时间 ”的思想。 int[] dp=new int[n+1];//dp[i]表示f(i)的值 在求f(x)时： if

1. 介绍 动态规划典型的被用于优化递归算法，因为它们倾向于以指数的方式进行扩展。动态规划主要思想是将复杂问题（带有许多递归调用）分解为更小的子问题，然后将它们保存到内存中，这样我们就不必在每次使用它们时重新计算它们。 要理解动态规划的概念，我们需要熟悉一些主题： 什么是动态规划？ 贪心算法 简化的背包问题 传统的背包问题 Levenshtein Distance LCS-最长的共同子序列 利用动态规划的其他问题 结论 本文所有代码均为 java 代码实现。 2. 什么是动态规划？ 动态规划是一种编程原理，可以通过将非常复杂的问题划分为更小的子问题来解决。这个原则与递归很类似，但是与递归有一个关键点的不同，就是每个不同的子问题只能被解决一次。 为了理解动态规划，我们首先需要理解递归关系的问题。每个单独的复杂问题可以被划分为很小的子问题，这表示我们可以在这些问题之间构造一个递归关系。 让我们来看一个我们所熟悉的例子： 斐波拉契数列 ，斐波拉契数列的定义具有以下的递归关系： 注意：递归关系是递归地定义下一项是先前项的函数的序列的等式。 Fibonacci 序列就是一个很好的例子。 所以，如果我们想要找到斐波拉契数列序列中的第n个数，我们必须知道序列中第n个前面的两个数字。 但是，每次我们想要计算 Fibonacci 序列的不同元素时，我们在递归调用中都有一些重复调用，如下图所示

最长公共子序列 状态转移方程为dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1 s1[i]==s[j] = max{dp[i-1][j],dp[i][j-1]} s1[i]!=s2[j] #include <iostream> #include <cstring> #include <string> using namespace std; #define X 255 int dp[X][X]; string s1,s2; int main() { freopen("sum.in","r",stdin); freopen("sum.out","w",stdout); while(cin>>s1>>s2) { memset(dp,0,sizeof(dp)); int len1 = s1.size(); int len2 = s2.size(); for(int i=1;i<=len1;i++) for(int j=1;j<=len2;j++) { if(s1[i-1]==s2[j-1]) dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1; else dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]); } cout<<dp[len1][len2]<<endl; } return 0; } 来源： https://www.cnblogs.com

题目大意： 一个数的序列bi，当b1 < b2 < ... < bS的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a1, a2, ..., aN)，我们可以得到一些上升的子序列(ai1, ai2, ..., aiK)，这里1 <= i1 < i2 < ... < iK <= N。比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中最长的长度是4，比如子序列(1, 3, 5, 8). 你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度。 法一：O(n^2) 思路:转化成子问题：求以ak（k=1，2，3。。。N）为终点（即上升子序列中最右边的数）的最长上升子序列的长度。该问题只和数字的位置有关，因而序列中数的位置k就是“状态”，而状态“k“对应的值就是以ak作为终点的最长上升子序列的长度。假定maxlen（k)表示以ak作为终点的最长上升子序列的长度，则： maxlen（1)=1; maxlen(k)=max{maxlen(i):1<i<k且ai<ak且k！=1｝+1 这个状态转移方程的思想是：maxlen（k)的值就是在ak左边，终点小于ak，且长度最大的那个上升子序列的长度再加1.因为ak左边任何终点小于ak的子序列加上ak后就能形成一个更长的上升子序列。 以下是代码： #include

转自 : http://hi.baidu.com/abcdcamey/item/0d1d6746c9ef4616896d10ac 动态规划和贪心算法的区别 动态规划和贪心算法都是一种递推算法 均有局部最优解来推导全局最优解 不同点： 贪心算法： 1.贪心算法中，作出的每步贪心决策都无法改变，因为贪心策略是由上一步的最优解推导下一步的最优解，而上一部之前的最优解则不作保留。 2.由（1）中的介绍，可以知道贪心法正确的条件是：每一步的最优解一定包含上一步的最优解。 动态规划算法： 1.全局最优解中一定包含某个局部最优解，但不一定包含前一个局部最优解，因此需要记录之前的所有最优解 2.动态规划的关键是状态转移方程，即如何由以求出的局部最优解来推导全局最优解 3.边界条件：即最简单的，可以直接得出的局部最优解 ============================================================================== 贪心算法与动态规划 贪心法的基本思路： 从问题的某一个初始解出发逐步逼近给定的目标，以尽可能快的地求得更好的解。当达到某算法中的某一步不能再继续前进时，算法停止。 该算法存在问题： 1. 不能保证求得的最后解是最佳的； 2. 不能用来求最大或最小解问题； 3. 只能求满足某些约束条件的可行解的范围。实现该算法的过程：

描述 http://codevs.cn/problem/1048/ 1048 石子归并 时间限制: 1 s 空间限制: 128000 KB 题目等级 : 黄金 Gold 题目描述 Description 有n堆石子排成一列，每堆石子有一个重量w[i], 每次合并可以合并相邻的两堆石子，一次合并的代价为两堆石子的重量和w[i]+w[i+1]。问安排怎样的合并顺序，能够使得总合并代价达到最小。 输入描述 Input Description 第一行一个整数n（n<=100） 第二行n个整数w1,w2...wn (wi <= 100) 输出描述 Output Description 一个整数表示最小合并代价 样例输入 Sample Input 4 4 1 1 4 样例输出 Sample Output 18 分析 状态方程:dp[i][j]表示把区间[i,j]合并所需要的最小花费. 状态转移方程:dp[i][j]=dp[i][k]+dp[k+1][j]+(w[i]+w[i+1]+...+w[j-1]+w[j]). 可见先要求出小区间,才能求大区间. 有两种做法: 1.先求出所有长度为2的区间,再求出所有长度为3的区间...最后求出长度为n的区间. 2.先求出区间右端点是2的区间,再求出区间右端点时3的区间...最后求出区间右端点是n的区间. 注意: 1.解法1中的小区间都是求过的

对给定的字符串，本题要求你输出最长对称子串的长度。例如，给定 Is PAT&TAP symmetric? ，最长对称子串为 s PAT&TAP s ，于是你应该输出11。 输入格式： 输入在一行中给出长度不超过1000的非空字符串。 输出格式： 在一行中输出最长对称子串的长度。 输入样例： Is PAT&TAP symmetric? 输出样例： 11思路:本题可以有多种方法来解决，动态规划，马拉车等等，但是我更擅长动态规划来解决此题，本题定义一个动态规划数组dp[i][j],表示的意义为字符串从i-j是否为回文串,首先应该确定数组的边界，当字串长度为1时一定为会文串，当子串长度为2时只要判断s[i]是否等于s[j]就可以判断i-j是否为回文串，当字串的长度大于等于2时知道判定s[i]==s[j]和dp[i+1][j-1]>0就可判断是否为回文串,所以本题的状态公式为：　　　　　　1 i==jdp[i][j]= 2 i-j==1&&str[i]==str[j] 　　　dp[j+1][i-1]+2 str[i]==str[j]&&dp[j+1][i-1]>0代码: /** * */ package com.xingbing.tianti; import java.io.BufferedReader; import java.io.IOException; import java.io

由于我之前一直强调数据结构以及算法学习的重要性，所以就有一些读者经常问我，数据结构与算法应该要学习到哪个程度呢？，说实话，这个问题我不知道要怎么回答你，主要取决于你想学习到哪些程度，不过针对这个问题，我稍微总结一下我学过的算法知识点，以及我觉得值得学习的算法。这些算法与数据结构的学习大多数是零散的，并没有一本把他们全部覆盖的书籍。下面是我觉得值得学习的一些算法以及数据结构，当然，我也会整理一些看过不错的文章给大家。大家也可以留言区补充。 一、算法最最基础 1、时间复杂度 2、空间复杂度 一般最先接触的就是时间复杂度和空间复杂度的学习了，这两个概念以及如何计算，是必须学的，也是必须最先学的，主要有最大复杂度、平均复杂度等，直接通过博客搜索学习即可。 文章推荐： 算法分析神器—时间复杂度 二、基础数据结构 1、线性表 列表（必学） 链表（必学） 跳跃表（知道原理，应用，最后自己实现一遍） 并查集（建议结合刷题学习） 不用说，链表、列表必须，不过重点是链表。 三分钟基础数据结构：如何轻松手写链表？ 以后有面试官问你「跳跃表」，你就把这篇文章扔给他 2、栈与队列 栈（必学） 队列（必学） 优先队列、堆（必学） 多级反馈队列（原理与应用） 特别是优先队列，再刷题的时候，还是经常用到的，队列与栈，是最基本的数据结构，必学。可以通过博客来学习。相关文章： 三分钟基础知识：什么是栈？

理论解析 动态规划其实就是记住之前问题的答案，然后利用之前问题的答案来分析并解决当前问题，这里面有两个非常重要的步骤，就是 拆解问题 和 定义状态 。 这次来针对具体的一类动态规划问题，矩阵类动态规划问题，来看看针对这一类问题的思路和注意点。 矩阵类动态规划，也可以叫做坐标类动态规划，一般这类问题都会给你一个矩阵，矩阵里面有着一些信息，然后你需要根据这些信息求解问题。 一般来说，在思考这类动态规划问题的时候，我们只需要思考当前位置的状态，然后试着去看当前位置和它邻居的递进关系，从而得出我们想要的递推方程，这一类动态规划问题，相对来说比较简单 不同路径 说明： m 和 n 的值均不超过 100。 题目解析： 问题拆解:题目中说了，每次移动只能是向右或者是向下，矩阵类动态规划需要关注当前位置和其相邻位置的关系，对于某一个位置来说，经过它的路径只能从它上面过来，或者从它左边过来，因此，如果需要求到达当前位置的不同路径，我们需要知道到达其上方位置的不同路径，以及到达其左方位置的不同路径 状态定义：矩阵类动态规划的状态定义相对来说比较简单，只需要看当前位置即可，问题拆解中，我们分析了当前位置和其邻居的关系，提到每个位置其实都可以算做是终点，状态表示就是 “ 从起点到达该位置的不同路径数目 ” 递推方程：dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-1][j] 实现