递归算法

前言 递归是算法中一种非常重要的思想，应用也很广，小到阶乘,再在工作中用到的比如统计文件夹大小，大到 Google 的 PageRank 算法都能看到，也是面试官很喜欢的考点 最近看了不少递归的文章，收获不小，不过我发现大部分网上的讲递归的文章都不太全面，主要的问题在于解题后大部分都没有给出相应的时间/空间复杂度，而时间/空间复杂度是算法的重要考量!递归算法的时间复杂度普遍比较难（需要用到归纳法等），换句话说，如果能解决递归的算法复杂度，其他算法题题的时间复杂度也基本不在话下。另外，递归算法的时间复杂度不少是不能接受的，如果发现算出的时间复杂度过大，则需要转换思路，看下是否有更好的解法 ，这才是根本目的，不要为了递归而递归！ 本文试图从以下几个方面来讲解递归 什么是递归？ 递归算法通用解决思路 实战演练（从初级到高阶） 力争让大家对递归的认知能上一个新台阶，特别会对递归的精华:时间复杂度作详细剖析，会给大家总结一套很通用的求解递归时间复杂度的套路，相信你看完肯定会有收获 什么是递归 简单地说，就是如果在函数中存在着调用函数本身的情况，这种现象就叫递归。 以阶层函数为例,如下, 在 factorial 函数中存在着 factorial(n - 1) 的调用，所以此函数是递归函数 public int factorial(int n) { if (n < =1) { return 1;

最近在学习数据结构，从书上的代码示例中学习到了一种抽象的思考方式，记录一些学习二叉树的感悟 先序遍历 先序遍历相对简单，我一开实现的时候考虑了四种情况 左孩子为空 && 右孩子为空 访问根节点，然后出栈 左孩子不为空 && 右孩子为空 访问根节点，然后继续访问左孩子 左孩子为空 && 右孩子不为空 访问根节点，入栈右孩子，出栈 左孩子不为空 && 右孩子不为空 访问根节点，入栈右孩子，继续访问左孩子 template<typename Elemtype> template<typename Fun> bool BiTree<Elemtype>::PreOrderTraverse(Fun &visit){ Stack<BiTNode<Elemtype>*> S; InitStack<bool,BiTNode<Elemtype>*>(S); BiTNode<Elemtype> *p = root; while (p != nullptr) { visit(p); if(p->rChrilde != nullptr) Push<bool,BiTNode<Elemtype>*>(S,p->rChrilde); if(p->lChrilde != nullptr) p = p->lChrilde; else //如果栈空Pop()返回false，用于判断栈空结束循环 if(!Pop<bool

本文介绍8种常见的排序算法,以及他们的原理,性能分析和c语言实现: 为了能够条理清楚, 本文所有的算法和解释全部按照升序排序进行 首先准备一个元素无序的数组arr[],数组的长度为length,一个交换函数swap, 在main函数中实现排序函数的调用,并输出排序结果: void swap(int*x , int*y) { int temp = *x; *x = *y; *y = temp; } int main() { int arr[] = { 1,8,5,7,4,6,2,3}; int length = sizeof(arr) / sizeof(int); sort(arr, length); for (int i = 0;i < length;i++) { printf("%d\n", arr[i]); } return 0; } 插入排序 第一次循环: 第二次循环: 第三次循环: 外层循环每执行一次就从无序区向有序区中插入一个数据arr[i] 　　里层循环控制插入的数据arr[i]与其前一个数据比较,如果比前一个数据小,就让前一个数据后移1位 　　...不断重复上述步骤,直到找到不比arr[i]小的数据arr[j],因为arr[j]后面的数据都后移了1位,所以直接将arr[i]放在空闲的arr[j+1]位置 c程序实现: void CRsort(int arr[],

递归 是什么 搞懂递归非常重要：递归应用非常广泛，很多数据结构和算法的编码实现都要用到递归，比如 DFS 深度优先搜索、前中后序二叉树遍历等等。 简单讲就是自己调自己 两个步骤：递--层层调用的过程；归--层层返回的过程 可以写出递推公式，如： f(n) = f(n-1) + 1; f(n) = f(n-1) + f(n-2); f(n)=n*f(n-1); 为什么 优点：代码的表达力很强，写起来简洁。 缺点：空间复杂度高、有堆栈溢出风险、存在重复计算、过多的函数调用会耗时较多等问题。 怎么做 成立需三个条件： 一个问题的解可以分解为几个子问题的解 这个问题与分解之后的子问题，除了数据规模不同，求解思路完全一样 存在递归终止条件 如何编写递归代码？ 写出递推公式，找到终止条件 编写递归代码的关键是，只要遇到递归，我们就把它抽象成一个递推公式，不用想一层层的调用关系，不要试图用人脑去分解递归的每个步骤。 f(n)=f(n-1)+1 其中，f(1)=1 防止堆栈溢出：限制递归次数，超过次数报错退出 防止重复计算：利用缓存数据结构(如散列表)缓存计算过的项 来源： https://www.cnblogs.com/wod-Y/p/11950445.html

递归 To Iterate is Human, to Recurse, Divine 递归的定义 递归，在数学与计算机科学中，是指在函数的定义中使用函数自身的方法 递归的三三要素 1.明确的函数要干什么 2.明确终止条件 3.提取重复逻辑，去找等价关系 递归思想的精髓 递归：递是传递传递的意思，参数需要传递到下一层去，如果把递归形容成用要是打开一扇一扇的门的话，传递的就是钥匙； 归有归还的意思，打开所有的门需要把最终的目的归还到问题开始的地方。递归的精髓是对问题的解读，需要抽象出重复的 问题和现象，通过反复的调用将结果返回。 递归的经典例子 1.阶乘 f(int n){ if(n==1)return 1; return n*f(n-1); } 2.斐波那契数列 f(int n){ if(n==1||n==2){ return 1; } return f(n-1)+f(n-2); } 3.杨辉三角 f(int x,iny){ if(y<=x&&y>=0){ if(y==0||y==x){ return 1; }else{ return f(x-1,y-1)+f(x-1,y); } } return -1; } 4.汉诺塔问题 f(int level,String begin,String end){ if(level==1){ //结束 }else{ //倒数第二层移到b f

1、algorithm analysis O B/W/AV/AMOR，混入其他问题，设计+分析 2、传统算法(肯定要考) 1)divide and conquer master therem、 recursive tree、分析复杂度、递归树加起来得到最终结果 2)greedy algorithm example sort->select 拟阵 独立系统的贪心模板，直接得到近似比 3)dynamic programming sub-optimal structrue、编辑距离 3、graph algorithm 1）exproration bfs and dfs、最小生成树 2）最短路，single path all pair 负环、负边 3）max-flow 优化方式 4、turing machine Np/NPC NP-hard np-reduction 5、approximation greedy/sequential/local search/lp rouding 三种算法的设计、图算法、图灵机、近似算法 来源： https://www.cnblogs.com/elpsycongroo/p/11939165.html

　　排序算法可以分为内部排序和外部排序，内部排序是数据记录在内存中进行排序，而外部排序是因排序的数据很大，一次不能容纳全部的排序记录，在排序过程中需要访问外存。常见的内部排序算法有：插入排序、希尔排序、选择排序、冒泡排序、归并排序、快速排序、堆排序、基数排序等。用一张图概括： 关于时间复杂度： 平方阶 (O(n2)) 排序 各类简单排序：直接插入、直接选择和冒泡排序。 线性对数阶 (O(nlog2n)) 排序 快速排序、堆排序和归并排序。 O(n1+§)) 排序，§ 是介于 0 和 1 之间的常数。 希尔排序。 线性阶 (O(n)) 排序 基数排序，此外还有桶、箱排序。 关于稳定性： 稳定的排序算法：冒泡排序、插入排序、归并排序和基数排序。 不是稳定的排序算法：选择排序、快速排序、希尔排序、堆排序。 名词解释： n：数据规模 k：“桶”的个数 In-place：占用常数内存，不占用额外内存 Out-place：占用额外内存 稳定性：排序后 2 个相等键值的顺序和排序之前它们的顺序相同 冒泡排序 　　冒泡排序（Bubble Sort）也是一种简单直观的排序算法。它重复地走访过要排序的数列，一次比较两个元素，如果他们的顺序错误就把他们交换过来。走访数列的工作是重复地进行直到没有再需要交换，也就是说该数列已经排序完成。这个算法的名字由来是因为越小的元素会经由交换慢慢“浮”到数列的顶端。

通过深度优先遍历算法，可以依次获取每个后代节点的对象。 顺序：有子元素先获取子元素，再获取兄弟元素 主要有2步骤： //1.创建节点迭代器对象(parent是要遍历的节点) var iterator = document.createNodeIterator(parent, NodeFilter.SHOW_ELEMENT, null, false); //2.反复调用iterator的nextNode方法跳到下一个 do{ 　　var node = iterator.nextNode(); 　　if(node != null) console.log(node.nodeName); 　　else break; }while(true); 以上也可以使用递归实现，但递归效率较低，不建议使用。 来源： https://www.cnblogs.com/1016391912pm/p/11912503.html

一到周末就开始放荡自我，这不带着女朋友去万达电影院看电影（其实是由于整天呆在家敲代码硬是 被女朋友强行拖拽去看电影，作为一个有理想的程序员，我想各位应该都能体谅我），一到电影院， 女朋友说要买爆米花和可乐，我当时二话没说，臣本布衣躬耕于南阳，壤中羞涩，所以单买了爆米 花，买完都不带回头看老板的那种，饮料喝多了不好，出门的时候我带了白开水，还得亏我长得销 魂，乍一看就能看出是个社会精神小伙，女朋友也没多说什么，只是对我微了微笑（我估计是被我的 颜值以及独到的见解所折服），刚坐下没多久，女朋友突然问我，咱们现在坐在第几排啊？电影院里 面太黑了，看不清，没法数，这个时候，如果是你现在你怎么办？别忘了你我是程序员，这个可难不 倒我，递归就开始排上用场了。于是我就问前面一排的人他是第几排，你想只要在他的数字上加一， 就知道自己在哪一排了。但是，前面的人也看不清啊，所以他也问他前面的人。就这样一排一排往前 问，直到问到第一排的人，说我在第一排，然后再这样一排一排再把数字传回来。直到你前面的人告 诉你他在哪一排，于是你就知道答案了。这就是一个非常标准的递归求解问题的分解过程，去的过程 叫“递”，回来的过程叫“归”。基本上，所有的递归问题都可以用递推公式来表示。我们用递推公式将 它表示出来就是这样的 f ( n ) = f (n - 1) + 1 其中，f ( 1 ) = 1 f(n

迭代是逐渐逼近，用新值覆盖旧值，直到满足条件后结束，不保存中间值，空间利用率高。 递归是将一个问题分解为若干相对小一点的问题，遇到递归出口再原路返回，因此必须保存相关的中间值，这些中间值压入栈保存，问题规模较大时会占用大量内存。 迭代是更新变量的旧值。递归是在函数内部调用自身。 https://www.zhihu.com/question/20278387 表示“重复”这个含义的词有很多, 比如循环(loop), 递归(recursion), 遍历(traversal), 迭代(iterate). 循环 算是最基础的概念, 凡是重复执行一段代码, 都可以称之为循环. 大部分的递归, 遍历, 迭代, 都是循环. 递归 的定义是, 根据一种(几种)基本情况定义的算法, 其他复杂情况都可以被逐步还原为基本情况. 在编程中的特征就是, 在函数定义内重复调用该函数. 例如斐波那契数列, 定义F(0)=1, F(1)=1, 所有其他情况: F(x)=F(x-1)+F(x-2). 所有大于1的整数经过有限次的反推之后都可以转换到两种基本情况. 而在编程中, 算法则是这样的: int F (x) { if (x==0 || x==1) return 1; //这里是退出递归的条件, 以保证在有限次递归后能够得到结果 return F(x-1)+F(x-2); //转化为更为基本的情况,