深度学习中的 logits 、softmax，TensorFlow中的 tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits 、tf.nn.sparse_soft...对比

一、logits 和 softmax

1、什么是logits？

说到Logits，首先要弄明白什么是Odds？

在英文里，Odds的本意是指几率、可能性。它和我们常说的概率又有什么区别呢？

在统计学里，概率（Probability）描述的是某事件A出现的次数与所有事件出现的次数之比:

$p_{(A)}=\frac{A发生的次数}{所有事件发生的总次数} ~~~~~~~~~~~~~~~~（公式1）$

很显然，概率 P是一个介于0到1之间的实数； P=0,表示事件A一定不会发生，而P=1,则表示事件A一定会发生。

以掷骰子为例，由于骰子为6面，任意一面上点数概率都是相同。所以，事件A：掷出点数为1的概率为：

$p=\frac{1}{6}$

对比而言，Odds指的是事件发生的概率与事件不发生的概率之比：

$Odds_{(A)}=\frac{p_{(A发生)}}{p_{(A不发生)}}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~（公式2）$

还拿掷骰子的例子说事，掷出点数为1的Odds为：

$Odds(A)=\frac{1/6}{5/6}$

很明显，Odds和概率之间的关系为：

$Odds(A)=\frac{p}{1-p}$

进一步简化可知，

$Odds（A）= \frac{发生事件A次数 } {其他事件的次数（即不发生A的次数）}~~~~~~~~~~~~~~ (公式3）$

换句话说，事件A的Odds 等于 事件A出现的次数 和 其它（非A）事件出现的次数 之比；

相比之下，事件A的概率 等于 事件A出现的次数 与 所有事件的次数 之比。

很容易推导得知：

概率P（A）和Odds（A）的值域是不同的。前者被锁定在[0,1]之间，而后者则是$[0,+\infty]$ .

这说了半天，有何logit有什么关系呢？

请注意Logit一词的分解，对它（it）Log（取对数），这里“it”就是Odds。下面我们就可以给出Logit的定义了：

$logit(Odds)=log(\frac{p}{1-p})~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(公式4）$

公式4实际上就是所谓Logit变换。

2、Logit变换的意义在哪里

与概率不同的地方在于，Logit的一个很重要的特性，就是它没有上下限，如图1所示。

通过变换，Logit的值域没有上下界限，这就给建模提供了方便。

想象这么一个场景，我们想研究某个事件A发送的概率P，P值的大小和某些因素相关，例如研究有毒药物的使用剂量大小（x）和被测小白鼠的死亡率（P）之间的关系。

很显然，死亡率P和x是正相关的，但由于P的值域在[0,1]之间，而x的取值范围要宽广得多。P不太可能是x的线性关系或二次函数，一般的多项式函数也不太适合，这就给此类函数的拟合（回归分析）带来麻烦。

此外，当P接近于0或1的时候，即使一些因素变化很大，P的值也不会有显著变化。

例如，对于高可靠系统，可靠度P已经是0.997了，倘若在改善条件、提高工艺和改进体系结构，可靠度的提升只能是小数点后后三位甚至后四位，单纯靠P来度量，已经让我们无所适从，不知道改善条件、提高工艺和改进体系结构到底有多大作用。

再比如，宏观来看，灾难性天气发送的概率P非常低（接近于0），但这类事件类似于黑天鹅事件（特征为：影响重大、难以预测及事后可解释），由于P对接近于0的事件不敏感，通过P来度量，很难找到刻画发生这类事件的前兆信息。

这时，Logit函数的优势就体现出来了。从图1可以看出，在P=0或P=1附近，Logit非常敏感（值域变化非常大）。通过Logit变换，P从0到1变化时，Logit是从到。Logit值域的不受限，让回归拟合变得容易了！

通常，Logit对数的底是自然对象e，这里我们把Odds用符号$\theta$表示，则有：

$\theta=ln\frac{p}{1-p}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(公式5)$

显然，知道$\theta$后，我们可以推导出概率：

$p=\frac{e^\theta}{1+e^\theta}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(公式6)$

通常，我们先借助Logit变换，让我们方便拟合数据（即逻辑回归），然后再变换回我们熟悉的概率。就是这么一个循环，为数据分析提供了便利。
如果我们在把公式（6）做一下变形，如分子和分母同乘以 ，可得到公式（7）：

$p=\frac{e^\theta\cdot e^{-\theta}}{e^{-\theta}{\cdot}(1+e^\theta)}=\frac{1}{1+e^{-\theta}}~~~~~~~~~~~~~~~(公式7)$

如果你认真观察的话，就会发现，它其实就是在神经网络种广泛使用的Sigmoid函数，又称对数几率函数（logistic function）。

通常，我们把公式（5）表示的 便于拟合的“概率替代物” 称为logits。事实上，在多分类（如手写识别等）中，某种分类器的输出（即分类的打分），也称为logits，即使它和Odds的本意并没有多大联系，但它们通过某种变换，也能变成“概率模型”，比如下面我们即将讲到的Softmax变换。

3、softmax函数

由于logis本身并不是一个概率，所以我们需要把logist的值变化成“概率模样”。这时Softmax函数该出场了。Softmax把一个系列的概率替代物（logits）从[-inf, +inf] 映射到[0,1]。除此之外，Softmax还保证把所有参与映射的值累计之和等于1，变成诸如[0.95, 0.05, 0]的概率向量。这样一来，经过Softmax加工的数据可以当做概率来用（如图2所示）。

经过softmax的加工，就变成“归一化”的概率（设为p1），这个新生成的概率p1，和labels所代表的概率分布（设为p2）一起作为参数，用来计算交叉熵。

这个差异信息，作为我们网络调参的依据，理想情况下，这两个分布尽量趋近最好。如果有差异（也可以理解为误差信号），我们就调整参数，让其变得更小，这就是损失（误差）函数的作用。

二、TensorFlow中的 ①tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits 、②tf.nn.sparse_softmax_entropy_with_logits对比

两个函数参数一样，不同的是tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits 的 labels 参数输入的是概率形式
(_sentinel=None, labels=None, logits=None, dim=-1, name=None)
Computes softmax cross entropy between logits and labels

1. 这个操作的输入logits是未经缩放的，该操作内部会对logits使用softmax操作
2. 参数labels,logits必须有相同的形状 [batch_size, num_classes] 和相同的类型(float16, float32, float64)中的一种
   参数：_sentinel: 一般不使用
   labels: labels的每一行labels[i]必须为一个概率分布
   logits: 未缩放的对数概率
   dims: 类的维度，默认-1，也就是最后一维
   name: 该操作的名称
   返回值：长度为batch_size的一维Tensor

函数的功能就是计算labels和logits之间的交叉熵（cross entropy）。

第一个参数基本不用。此处不说明。
第二个参数label的含义就是一个分类标签，所不同的是，这个label在①中是分类的概率，比如说[0.2,0.3,0.5]，labels的每一行必须是一个概率分布（即概率之合加起来为1）。

现在来说明第三个参数logits，logit的值域范围[-inf,+inf]（即正负无穷区间）。我们可以把logist理解为原生态的、未经缩放的，可视为一种未归一化的l“概率替代物”，如[4, 1, -2]。它可以是其他分类器（如逻辑回归等、SVM等）的输出。

例如，上述向量中“4”的值最大，因此，属于第1类的概率最大，“1”的值次之，所以属于第2类的概率次之。

交叉熵（Cross Entropy是Shannon信息论中一个重要概念，主要用于度量两个概率分布间的差异性信息。

下面用个小例子来看看这两个函数的用法

TensorFlow2.0

# tf.nn.sparse_softmax_entropy_with_logits（）

# 词汇表大小为3，语料包含两个单词【2，0】
word_labels=tf.constant([2,0])  # 数值
predict_logit=tf.constant([[2.0,-1.0,3.0],[1.0,0.0,-.5]])
loss=tf.nn.sparse_softmax_cross_entropy_with_logits(labels=word_labels,logits=predict_logit)
loss

# <tf.Tensor: id=15, shape=(2,), dtype=float32, numpy=array([0.32656264, 0.4643688 ], dtype=float32)>


# tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits

word_prob_distribution=tf.constant([[0,0,1],[1,0,0]],dtype=tf.float32) # 概率
loss=tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits(labels=word_prob_distribution,logits=tf.nn.softmax(predict_logit))
loss

# <tf.Tensor: id=86, shape=(2,), dtype=float32, numpy=array([0.7544037, 0.8267176], dtype=float32)>

来源：https://blog.csdn.net/wwyy2018/article/details/100081457