关于三角函数级数的一个重要结论+和差化积+积化和差

文章目录

• 部分和有界
• 证明
• 结论
• 一个例题
• 解
• 补充：积化和差
• 补充：和差化积

部分和有界

证明：$\sum\sin nx$和$\sum\cos nx$的部分和有界$(x\in(0,2\pi))$

证明

这个证明的技巧性太强了

• 直接骚操作$2\sin\frac x2(\frac12+\sum\limits_{k=1}^n\cos kx)$ $=\sin\frac x2+(\sin\frac32x-\sin\frac x2)+...$ $...+[\sin(n+\frac12)x-\sin(n-\frac12)x]$ $=\sin(n+\frac12)x$ 注：以上用到了积化和差公式$\cos \alpha \sin \beta=\frac{1}{2}[\sin (\alpha+\beta)-\sin (\alpha-\beta)]$
• 由于$x\in(0,2\pi)$时，$\sin\frac x2\ne0$，故$\sum\limits_{k=1}^n\cos kx=-\frac12+\frac{\sin(n+\frac12)x}{2\sin\frac x2}\le-\frac12+\frac1{2\sin\frac x2}$
• $\sum\limits_{k=1}^n\sin kx$也是类似做法，用到的积化和差公式为$\sin \alpha \sin \beta=-\frac{1}{2}[\cos (\alpha+\beta)-\cos (\alpha-\beta)]$ So,$2\sin\frac x2\sum\limits_{k=1}^n\sin kx=(\cos\frac x2-\cos\frac32x)+...$ $...+(\cos(n-\frac12)x-\cos(n+\frac12)x)$ $=\cos\frac x2-\cos(n+\frac12)x$ $\Rightarrow$ $\sum\limits_{k=1}^n\sin kx=\frac{\cos\frac x2-\cos(n+\frac12)x}{2\sin\frac x2}$ $\Rightarrow$ $\Big|\sum\limits_{k=1}^n\sin kx\Big|\le\Big|\frac2{2\sin\frac x2}\Big|$

结论

$\sum\frac{\sin nx}{n^{\alpha}}和\sum\frac{\cos nx}{n^{\alpha}}$在$x\in(0,2\pi),\alpha>0$的情况下收敛

其实我觉得也不用这么限制$x$，只要$\sin\frac x2\ne 0$就行了呗

一个例题

$P_{26}2(3)$
判断$\sum(-1)^n\frac{\cos^2n}{n}$的收敛与发散

解

• 用狄屎定理：$\sum(-1)^n\cos^2n部分和有界+\frac1n单减趋0$
• 下面证明$\sum(-1)^n\cos^2n部分和有界$
  • $\sum\limits_{k=1}^n(-1)^k\cos^2k=\sum\limits_{k=1}^n\frac{(-1)^k}2$ $+\sum\limits_{k=1}^n\frac{(-1)^k}{2}\cos 2k\tag{1}$
  • 之间看右二有界否$\sum\limits_{k=1}^n\frac{(-1)^k}{2}\cos 2k=\frac12\sum\limits_{k=1}^n\cos k(2+\pi)$ $=\frac12(-\frac12+\frac{\sin(n+\frac12)(2+\pi)}{2\sin\frac {2+\pi}2})$
• SO,$|(1)式|\le\frac12+\Big|-\frac14+\frac{\sin(n+\frac12)(2+\pi)}{4\sin\frac {2+\pi}2}\Big|$ $\le1+\Big|\frac1{4\sin\frac {2+\pi}2}\Big|$

补充：积化和差

$\sin \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}[\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)]$ $\cos \alpha \sin \beta=\frac{1}{2}[\sin (\alpha+\beta)-\sin (\alpha-\beta)]$ $\cos \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}[\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)]$ $\sin \alpha \sin \beta=-\frac{1}{2}[\cos (\alpha+\beta)-\cos (\alpha-\beta)]$

补充：和差化积

$\sin a+\sin b=2 \sin \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2}$ $\sin a-\sin b=2 \cos \frac{a+b}{2} \sin \frac{a-b}{2}$ $\cos a+\cos b=2 \cos \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2}$ $\cos a-\cos b=-2 \sin \frac{a+b}{2} \sin \frac{a-b}{2}$ $\tan a \pm \tan b=\frac{\sin (a \pm b)}{\cos a \cdot \cos b}$

来源：https://blog.csdn.net/universe_1207/article/details/100074212