最大子列和问题
给定\(N\)个整数的序列\({A_1,A_2,\dots,A_N}\)，求函数\(f(i,j)=max\{0,\sum_{k=I}^jA_K\}\)的最大值。
序列中有多个子列，我们需要从中找出子列和最大的子列。
算法1-暴力破解
/* c语言实现 */ int MaxSubseqSum1(int A[], int N) { int ThisSum, MaxSum = 0; int i, j, j; for(i=0; i<N; i++){ /* i是子列左端位置 */ for (j=i; j<N; j++){ /* i是子列右端位置 */ ThisSum = 0; /* ThisSum是从A[i]到A[j]的子列和 */ for(k=i; k<=j; k++) ThisSum += A[k]; if(ThisSum > MaxSum) /* 如果刚得到的这个子列和更大 */ MaxSum = ThisSum; /* 则更新结果 */ } /* j循环结束 */ } /* i循环结束 */ return MaxSum; } # python语言实现 def max_subseq_sum1(arr: list, n: int): max_sum = 0 for i in range(n): for j in range(i, n): this_sum = 0 for k in range(i, j): this_sum += arr[k] if this_sum > max_sum: max_sum = this_sum
时间复杂度：
\[ T(n) = O(N^3) \]
当我们知道\(i-j\)的和之后，没必要从头开始加，对于k的循环是多余的。
算法2-适当优化
/* c语言实现 */ int MaxSubseqSum2(int A[], int N) { int ThisSum, MaxSum = 0; int i, j, j; for(i=0; i<N; i++){ /* i是子列左端位置 */ ThisSum = 0; /* ThisSum是从A[i]到A[j]的子列和 */ for (j=i; j<N; j++){ /* i是子列右端位置 */ ThisSum += A[k]; /* 对于相同的i，不同的j，只要在j-1次循环的基础上累加1项即可 */ if(ThisSum > MaxSum) /* 如果刚得到的这个子列和更大 */ MaxSum = ThisSum; /* 则更新结果 */ } /* j循环结束 */ } /* i循环结束 */ return MaxSum; } # python语言实现 def max_subseq_sum2(arr: list, n: int): max_sum = 0 for i in range(n): this_sum = 0 for j in range(i, n): this_sum += arr[k] if this_sum > max_sum: max_sum = this_sum
时间复杂度：
\[ T(n) = O(N^2) \]
一个专业的程序，设计了一个\(O(N^2)\)的算法，应该本能的想到是否能把他改进为\(O(Nlog_N)\)的算法。
算法3-分而治之
先把数组从中间一分为二，递归的解决左半部分的问题，得到左边的最大子列和；递归的解决右半部分的问题，得到右边的最大子列和；解决跨越中间的最大子列和，从三者中取出最大的子列和，即为解。
时间复杂度：
\[ \begin{align} T(n) & = 2T(N/2)+cN,\,\quad{T}(1)=O(1) \\ & = \text{注意$T(n)$和$T(N/2)$的转换关系}\\ & = 2[2T(N/2^2)+cN/2]+cN \\ & = 2^kO(1)+ckN\quad\text{其中$N/2^k=1$，即$k=log_2N$} \\ & = O(NlogN) \end{align} \]
算法4-在线处理
由于连续子列和出现负数，往后加数字只会让后面的数字越来越大，因此可以提前让子列和归零。
“在线”的意思是指每输入一个数据就进行即时处理，在任何一个地方中止输入，算法都能正确给出当前的解。
/* c语言实现 */ int MaxSubseqSum4(int A[], int N) { int ThisSum, MaxSum; int i; ThisSum = MaxSum = 0; for(i=0; i<N; i++){ ThisSum += A[i]; /* 向右累加 */ if(ThisSum > MaxSum) MaxSum = ThisSUm; /* 发现更大和则更新当前结果 */ else if(ThisSum < 0) /* 如果当前子列和为负 */ ThisSum = 0; /* 则不可能使后面的部分和增大，抛弃之 */ } return MaxSum; } # python语言实现 def max_subseq_sum4(arr: list, n: int): this_sum = max_sum = 0 for i in range(n): this_sum += arr[i] if this_sum > max_sum: max_sum = this_sum elif this_sum < 0: this_sum = 0
时间复杂度：
\[ T(N) = O(N) \]
由于时间复杂度较快，所以对于其他人理解是很困难的。
算法运行时间比较
